Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Заключение

Подводя итоги, констатируем, что наблюдаемые составляют полный набор коммутирующих наблюдаемых. Задача построения общих собственных функций сводится к разделению в уравнении Шредингера угловых переменных и

радиальной переменной. Если фиксировать собственные значения операторов и соответственно, то собственные функции имеют вид

где есть решение радиального уравнения (20), которое обращается в нуль в начале координат и остается ограниченным во всем пространстве.

Часто говорят, что такая собственная функция представляет состояние с моментом импульса I или, точнее, что частица обладает моментом импульса с компонентой относительно оси Напомним, что целые числа и что Согласно традиционной спектроскопической терминологии I называется азимутальным квантовым числом, магнитным квантовым числом. По традиции более низкие состояния момента импульса отмечаются буквами алфавита, а не численными значениями азимутального квантового числа: значениям соответствуют буквы

Природа спектра Н зависит от поведения потенциала на бесконечности. В частности, если стремится (монотонно) к нулю, энергетический спектр содержит некоторое число отрицательных дискретных значений и множество (континуальное) положительных значений.

Каждое из собственных значений непрерывного спектра бесконечно вырождено. Действительно, для любых возможных значений момента импульса существует собственная функция с положительной энергией Е.

Уровни энергии дискретного спектра могут быть отмечены двумя индексами, азимутальным квантовым числом I и радиальным квантовым числом позволяющим различать собственные значения радиального уравнения при заданном . A priori нет никаких причин, по которым радиальные уравнения, соответствующие различным значениям квантового числа I, могли бы иметь одинаковые собственные значения: в общем случае собственные значения все различны, но каждое раз вырождено, так как каждому соответствует столько линейно независимых собственных функций, сколько при данном

I имеется возможных значений магнитного квантового числа

Для некоторых частных форм потенциала может случиться, что некоторые из собственных значений совпадают; в этом случае вырождение увеличивается. Мы встретимся с вырождением этого рода при изучении атома водорода (гл. XI) и трехмерного изотропного гармонического осциллятора (гл. XII).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление