Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Рассеяние на твердой сфере

Если потенциал ограниченного радиуса действия соответствует потенциалу твердой сферы

то все формулы § 10 упрощаются. Волновая функция должна обращаться в нуль на поверхности сферы, т. е. при любых что дает (уравнение (44)) , т. е.

После соответствующих вычислений получаем

и, в частности,

При очень малых энергиях, в согласии с результатами § 11, дифференциальное эффективное сечение становится изотропным, и полное эффективное сечение имеет предел

соответствующий длине рассеяния

При возрастании энергии вклад парциальных волн высокого порядка становится все более значительным, а анизотропия рассеяния — все более выраженной. При очень больших энергиях дифференциальные и полные эффективные сечения могут быть вычислены при использовании асимптотического поведения функций Бесселя больших порядков. Таким путем получаем 12):

Дадим упрощенное доказательство соотношения (53). Зная функции нетрудно установить поведение функции

Эта функция ведет себя как вблизи затем монотонно растет до окрестности , а затем бесконечно осциллирует по закону

Поэтому в сумме

вклад членов пренебрежимо мал по сравнению со вкладом членов который можно грубо оценить, используя асимптотическую форму (54), что дает

Эту сумму можно оценить, группируя попарно последовательные члены, что в пределе очень больших дает

откуда и получается выражение (53).

Таким образом, в пределе малых длин волн мы не получаем эффективного сечения рассеяния классической частицы твердой сферой радиуса Полное классическое эффективное сечение

равно только половине квантового результата в пределе малых длин волн. Аналогичным образом, дифференциальное классическое эффективное сечение изотропно и равно оно соответствует первому члену асимптотической формы (52) для

Эти результаты показывают, что в рассматриваемом случае нельзя пренебречь волновым аспектом явления, так как даже в предельной ситуации очень малых длин волн потенциал нельзя считать медленно меняющимся в пространстве ввиду наличия разрыва в точке Наблюдаемое явление совершенно аналогично явлению дифракции в оптике, на что указывает исследование асимптотической формы (52) дифференциального эффективного сечения. Это выражение содержит два члена. Первый член изотропного «отражения» идентичен классическому дифференциальному эффективному сечению. Второй,

является резко анизотропным: он дает существенный вклад) только при малых углах порядка это член «дифракции» (теневое рассеяние), связанный с наличием тени от идеально отражающей сферы на пути падающей волны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление