Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Теория эффективного радиуса действия. Формула Бете

Формулы § 17 позволяют исследовать изменение фазовых сдвигов при модификации потенциала при данном значении энергии. В этом параграфе мы рассмотрим изменение фазовых

сдвигов в зависимости от изменения энергии. Полученные формулы будут особенно полезны в предельном случае малых энергий, когда потенциал имеет короткий радиус действия.

Пусть — одно из регулярных решений уравнения (29); пока мы не будем уточнять его нормировку. Пусть есть решение (нерегулярное) уравнения (71), соответствующее тому же значению энергии и имеющее ту же асимптотическую форму, что и и, включая нормировку. Рассмотрим теперь два различных значения энергии будем отмечать индексами 1 и 2 все величины, относящиеся к этим энергиям. По теореме вронскиана (III. 27) имеем

и соответствующее выражение для , откуда

Когда то поскольку имеют одну асимптотическую форму, интеграл в правой части уравнения сходится, а разность вронскианов на верхнем пределе обращается в нуль. Поскольку, кроме того, написанная формула при переходит в

Выбирая подходящим образом нормировку и, можно из этой формулы найти значения разности при энергиях

Ограничимся случаем -волны Кроме этого, положим и обозначим через значения в этом частном случае. Фиксируем нормировку и условием , т. е.

Тогда формула (77) запишется в виде

В предположении, что стремится к нулю при достаточно быстро, так чтобы интеграл в правой части сходился, эта формула остается справедливой в пределе Обозначим с помощью функции при энергии равной нулю. Замечаем, что

где а — длина рассеяния, определяемая уравнением (47). Выбирая значения в соотношении (78) (см. рис. 35), получаем формулу Бете:

Это строгое соотношение. Оно полезно, когда интеграл в правой части медленно меняется как функция энергии.

Рис. 35. Волновые -функцни нулевой энергии в теории эффективного радиуса действия для последовательно увеличивающейся глубины потенциала ограниченного радиуса действия — параметр глубины ямы, при этом соответствует глубине, необходимой для образования занного состояния): а) Замечание, а является убывающей функцией имеющей вертикальную асимптоту при каждом значении для которого существует связанное состояние с нулевой энергией.

Именно это имеет место в случае короткодействующего потенциала того типа, что мы встречаем в ядерной физике, когда можно разделить все пространство на внутреннюю область для которой и внешнюю область где потенциал V пренебрежимо мал. Основной вклад в интеграл дает внутренняя область, где без большой ошибки можно заменить и на и на так как в начале координат и относительная кривизна функций и и практически одинакова во всей этой области (рис. 35). Таким образом, в очень хорошем приближении

имеем

Величина обычно называется эффективным радиусом — это параметр, характеризующий свойства потенциала.

Правая часть уравнения (80) по существу представляет два первых члена в разложении по степеням энергии. Чтобы выписать члены более высокого порядка, надо получить разложения и и в виде рядов по степеням и подставить эти ряды в правую часть Основываясь на аргументах, приведенных выше, следует ожидать, что получающиеся ряды быстро сходятся во внутренней области, поэтому и сходимость разложения для также будет хорошей.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление