Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Разложение по парциальным волнам

Уравнение Шредингера (20) может быть решено методом разделения угловых и радиальных переменных. Этот метод не представляет большого интереса для чисто кулоновского рассеяния, так как мы обладаем более прямым методом. Кроме того, имея дело с потенциалом дальнего действия, мы заранее знаем, что разложение амплитуды рассеяния по сферическим функциям будет плохо сходиться. Однако разложение по парциальным волнам оказывается полезным в таких задачах, когда к чисто кулоновскому взаимодействию добавляется некоторое взаимодействие с ограниченным радиусом, ибо присутствие этого дополнительного взаимодействия влияет только на первые члены разложения по сферическим гармоникам и, следовательно, разложение разности быстро сходится.

Разделение угловых и радиальных переменных уже было проведено для случая атома водорода. В наших новых обозначениях уравнение (4) записывается в форме

Чтобы построить решения этого уравнения, действуем как в задаче об атоме водорода, производя замену искомой функции и переменной:

тогда есть решение уравнения Лапласа (см. уравнение (12))

Известны асимптотические разложения (Б.10-11) двух нерегулярных решений этого уравнения . На их основе можно получить асимптотическую форму общего решения (39) и в результате короткого вычисления — асимптотическую форму общего решения (37): это линейная комбинация двух экспоненциальных функций

Мы знаем, что решение (39), регулярное в начале координат, есть гипергеометрическая функция ; это сумма двух функций (уравнение (Б.9)). Соответствующее решение уравнения (37) в асимптотической области пропорционально функции где

Величина называется кулоновским фазовым сдвигом. По определению регулярной кулоновской волновой функцией является регулярное решение уравнения (37) с асимптотической формой

Согласно предыдущему

при этом постоянная должна быть выбрана так, чтобы удовлетворяла условию (41), а именно

Вещественная функция часто называется регулярной сферической кулоновской функцией; это функция зависящая от параметра у.

Можно определить также «нерегулярные сферические кулоновские функции». Это решения уравнения (37), нерегулярные в начале координат. Наиболее часто употребляемые функции определены в § Б. 5. Укажем здесь только сходящуюся и расходящуюся волны с асимптотическими формами

Эти функции являются комплексно сопряженными, причем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление