ГЛАВА XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

§ 1. Введение

В классической механике гармонический осциллятор — это частица, способная перемещаться вдоль некоторой оси и подверженная действию возвращающей силы, пропорциональной расстоянию частицы от начала координат. Решение этой задачи хорошо известно. Пусть — координата положения частицы на оси, — её импульс, — масса, — возвращающая сила. Уравнения движения частицы выводятся из функции Гамильтона легко показать, что частица синусоидально колеблется с (круговой) частотой о около начала координат.

Соответствующая квантовая задача формулируется как задача об одномерной частице с массой гамильтонианом

причем переменные положения и импульса связаны соотношением коммутации

Здесь мы имеем дело с очень простой квантовой системой, уравнение Шредингера которой может быть точно решено; система обладает целым рядом замечательных свойств.

Исследование гармонического осциллятора имеет большое значение в квантовой теории, так как гамильтониан типа (1) встречается во всех задачах, где имеют место квантованные колебания: мы находим его в квантовой электродинамике и квантовой теории поля, в теории молекулярных и кристаллических колебаний. С другой стороны, проблемы, относящиеся к гармоническому осциллятору, служат прекрасной иллюстрацией основных принципов и формализма квантовой теории. Поэтому вполне оправдано подробное изучение этой задачи, которому и посвящена данная глава.

Два первых раздела посвящены одномерному осциллятору. Общее решение проблемы собственных значений гамильтониана содержится в разделе I. Раздел II посвящен различным

приложениям: нахождению производящей функции стационарных состояний, решению уравнений движения Гейзенберга, сравнению квантового и классического осцилляторов и изучению движения волнового пакета — что дает хорошую иллюстрацию как принципа соответствия, так и соотношений неопределенности — и, наконец, исследованию свойств ансамбля гармонических осцилляторов в термодинамическом равновесии.

В разделе III рассматривается гармонический осциллятор в нескольких измерениях. Основной характеристикой этой задачи является наличие вырожденных собственных значений. Следствия вырождения детально изучаются в двух частных случаях изотропного осциллятора в двух и трех измерениях.