Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Спектр и базисная система оператора N

Если то предшествующая теорема применима и к вектору принадлежащему собственному значению Это убеждает нас в том, что Если то теорема применима также к вектору Так мы образуем последовательность собственных векторов

принадлежащих собственным значениям

Эта последовательность обязательно конечна, так как собственные значения N ограничены снизу нулем. Иначе говоря, векторы последовательности все равны нулю, начиная с некоторого действие а на собственный отличный от нуля вектор принадлежащий собственному значению дает 0; согласно в) это значит, что

Аналогичным образом можно применить нашу теорему к вектору который очевидно не равен нулю и принадлежит собственному значению затем к вектору и т. д. Так получается неограниченная последовательность отличных от нуля векторов

которые являются собственными векторами принадлежащими соответственно собственным значениям

Приходим к заключению, что спектр собственных значений оператора N образован последовательностью целых неотрицательных чисел. Последовательность собственных векторов, принадлежащих каждый одному из значений спектра, получается повторным действием операторов а или а на один из этих векторов. Отношение норм двух соседних векторов дается соотношениями (15а) или (156). Это множеств векторов образует полную систему. Действительно, можно показать, что всякая функция от а и коммутирующая с является функцией N (задача 1). Поэтому оператор N образует сам по себе полный набор коммутирующих наблюдаемых и ни одно из его собственных значений не может быть вырождено.

Построенные нами векторы не являются нормированными на единицу. Но чтобы получить ортонормированный базис наблюдаемой достаточно умножить каждый вектор на соответствующую постоянную, которую следует выбрать, исходя из соотношений (15а) и (156). Требование нормировки определяет указанную постоянную только с точностью до фазы, которую мы еще можем выбрать так, чтобы максимально упростить получающиеся формулы. В результате находим последовательность ортонормированных векторов

принадлежащих, соответственно, следующим собственным значениям

Векторы связаны друг с другом рекуррентными соотношениями:

Нетрудно проверить, что все они получаются из вектора согласно формуле

удовлетворяют уравнению на собственные значения

и нормированы на единицу, т. е. удовлетворяют соотношениям

Поскольку оператор N сам по себе составляет полный набор, последовательность векторов (16) образует полную систему векторов пространства динамических состояний изучаемой квантовой системы Остается проверить внутреннюю согласованность нашего построения а именно, убедиться, что векторы из удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к векторам пространства Гильберта, а физические величины представлены наблюдаемыми, которые подчиняются правилам соответствующей алгебры. Мы не будем заниматься здесь этими тонкостями (задача 3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление