Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12. Гармонические осцилляторы в термодинамическом равновесии

Рассмотрим гармонический осциллятор, находящийся в термодинамическом равновесии с термостатом при температуре Т. Его динамическое состояние является смешанным и согласно закону Больцмана описывается матрицей плотности

Изучим свойства такого смешанного состояния.

Вычислим сначала статистическую сумму

Вычисление следа легко производится в представлении, где диагональна наблюдаемая

откуда, суммируя геометрическую прогрессию в правой части уравнения, находим

Средняя энергия

получается из статистической суммы с учетом уравнения (VIII. 84). Имеем

откуда

Следовательно, для средней энергии квантового осциллятора получаем формулу Планка (с точностью до слагаемого

При очень низких Температурах осциллятор почти с полной достоверностью находится в своем основном состоянии

При очень высоких температурах средняя энергия стремится к значению, определяемому классической статистикой Максвелла — Больцмана:

В качестве важного свойства квантового осциллятора в термодинамическом равновесии отметим следующую теорему Блоха.

Теорема. Распределение вероятности заданной комбинации координаты и импульса выражается законом Гаусса.

Чтобы доказать эту теорему, вычислим характеристическую функцию этого распределения. Функция по определению, есть среднее значение

Вычислим этот след в представлении где оператор диагонален.

Найдем сначала величины

Имеем, учитывая (24—25),

где

Согласно тождеству (29)

откуда

Разлагая в ряд экспоненты и учитывая соотношение (20), получаем

В скалярном произведении этих двух векторов недиагональные члены двойной суммы все равны нулю по условиям ортогональности, так что остается

Обозначим

В представлении оператор диагоналей и элемент его матрицы равен

Из уравнений (53—57) находим

Эта двойная сумма может быть вычислена точно. Суммирование по производится с помощью разложения в ряд

Учитывая определения это можно записать в виде

где

Поскольку характеристическая функция распределения является гауссовой, само распределение также выражается законом Гаусса: это распределение со средним квадратичным отклонением а, что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление