Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ДОПОЛНЕНИЕ А ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, «ФУНКЦИЯ» ДЕЛЬТА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Раздел I. КРАТКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Понятие функционала и строгий подход к проблеме непрерывного спектра

«Функция» Дирака, применение которой позволяет трактовать непрерывный спектр в полной аналогии с дискретным спектром, по существу не является строго определенным математическим объектом. Корректное теоретическое исследование наблюдаемых, обладающих непрерывным спектром, требует иной постановки проблемы собственных значений.

Собственные функции наблюдаемых в волновой механике встречаются только в форме скалярных произведений с волновыми функциями, т. е. в форме скалярных произведений с функциями, квадрат модуля которых интегрируем. Пусть — одна из собственных функций, произвольно выбранная волновая функция, тогда скалярное произведение (обозначения гл. V) можно рассматривать как антилинейный функционал или, лучше, как линейный функционал Обозначим последний символом тогда по определению

Следовательно, теория оперирует не с собственными функциями как таковыми, а с некоторыми функционалами, сопоставленными каждой собственной функции.

Функционалы волновой механики принадлежат некоторому классу функционалов, называемых обобщенными функциями, относительно которых можно с некоторыми ограничениями определить те же операции алгебры и анализа, что и относительно обыкновенных функций. Поэтому можно строго формулировать волновую механику, рассматривая операторы теории как операторы, действующие на обобщенные функции; при этом собственные решения эрмитового оператора суть обобщенные функции частного вида; это линейные и непрерывные функционалы от ограниченных квадратично интегрируемых функций, которые удовлетворяют уравнению на собственные значения этого оператора.

Пусть — две наблюдаемые, спектр которых ради простоты будем предполагать всюду непрерывным и невырожденным, и пусть есть матрица унитарного преобразования, связывающего представление и представление . В строгой формулировке квантовой теории (I) представляет одновременно:

а) множество собственных решений X в представлении т. е. некоторую последовательность функционалов от функций переменной отмечаемую непрерывным индексом х;

б) множество собственных решений в представлении {X}, т. е. некоторую последовательность функционалов от функций переменной х, отмечаемую непрерывным индексом

В этом разделе мы дадим точное определение обобщенных функций и укажем без доказательства их основные свойства.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление