Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ДОПОЛНЕНИЕ Б. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФОРМУЛЫ

Раздел I. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА, ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА, КУЛОНОВСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. Уравнение Лапласа и вырожденная гипергеометрическая функция

Уравнением Лапласа называется уравнение типа

(здесь — произвольные комплексные постоянные). Решение уравнения (1) можно искать в виде степенного ряда. Обычно вырожденной гипергеометрической функцией называется ряд вида

1) вполне определен для произвольных при целое

2) сходится во всей комплексной плоскости

3) является полиномом степени р (р целое ), если имеет существенно особую точку на бесконечности, если

4) удовлетворяет соотношению Куммера:

Нетрудно видеть, что если функции

существуют, то они являются двумя линейно независимыми решениями уравнения (1),

По методу Лапласа решения уравнения (1) могут быть также представлены в виде контурных интегралов. Если Г некоторый контур в комплексной

плоскости такой, что функция принимает одинаковые значения на его концах, то интеграл

является частным решением уравнения (1).

Предположим, что а не целое, целое Замкнутому контуру охватывающему точки (рис. 38), соответствует решение типа (4). По соглашению на той части контура, где изменяется вдоль действительной оси между 0 и 1 в направлении возрастающих . Это решение, будучи целой функцией пропорционально

Рис. 38.

Рис. 39.

Коэффициент пропорциональности получается при разложении под знаком интеграла и применении формулы

( — целое, у не целое).

Находим

Двум петлям обходящим точки и соответственно (рис. 39), отвечают два решения типа (4), нерегулярные в начале, именно

Условие сходимости интеграла есть

— аргумент бесконечной точки на петлях

По соглашению

В конце петли и в начале петли

При этих условиях

Асимптотические разложения решений и (они получаются методом скорейшего спуска):

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление