Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Раздел II. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ

§ 6. Сферические функции Бесселя

Дифференциальное уравнение.

В сферических координатах уравнение Шредингера для свободной частицы для каждого значения I момента импульса приводит к радиальному уравнению

В комплексной плоскости имеет существенно особую точку в бесконечности и, в общем случае, полюс порядка в начале

Сферические функции Бесселя являются частными решениями этого уравнения; они определяют регулярную в начале функцию (собственно сферическую функцию Бесселя) и нерегулярные решения (функция Неймана), (функция Ганкеля первого рода) и (функция Ганкеля второго рода).

обозначает обычную функцию Бесселя порядка вещественны,

В явном виде:

Здесь — полином по степени I с вещественными коэффициентами и четностью — полином по степени вещественными коэффициентами и четностью

Асимптотические формы

Поведение вблизи начала координат

Общее поведение

При возрастании от 0 до функция сначала растет как затем все быстрее (экспоненциально) до точки затем она бесконечно осциллирует между двумя экстремальными значениями, которые асимптотически стремятся к соответственно. Асимптотическая формула (51) является хорошим приближением, когда однако амплитуда осцилляций практически достигает своего асимптотического значения (с точностью до 10%) уже при

Рекуррентные формулы.

Ниже будем считать, что где a и b — произвольно выбранные коэффициенты, не зависящие от I. Имеем

так что

Определитель Вронского:

от куда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление