Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Асимптотическое поведение решений

Асимптотическая форма общего решения уравнения (5) на краях интервала существенно зависит от знака разности при х, стремящемся к одному из пределов Рассмотрим асимптотическую форму решения при Аналогичные результаты получаются и при Допустим, что не меняет знака, когда х превосходит некоторое значение При этом возможны два случая.

1) , когда Предположим (так обычно бывает на практике), что при функция монотонно стремится к конечному пределу Положим

Мы покажем, что при

— вещественные решения уравнения (5) остаются ограниченными и бесконечно осциллируют между двумя противоположными значениями;

— если, кроме того, стремится к быстрее, чем то

где суть две вещественные постоянные.

Для доказательства заметим, что уравнение (5) «асимптотически стремится» к уравнению общее решение которого есть , т. е. зависит от двух произвольных постоянных Чтобы найти

асимптотическую форму у, введем (метод вариации постоянных) функции определенные равенствами

Уравнение (5) эквивалентно двум дифференциальным уравнениям первого порядка:

Отсюда интегрированием получаем

Интеграл в правой части (31) сходится, поэтому при функция стремится к конечному пределу Далее, поскольку фуикция в выражении (30) осциллирует с периодом, который асимптотически стремится к Это доказывает первый из формулированных выше результатов. Если, кроме того, стремится к быстрее, чем то сходится и интеграл в правой части уравнения (32); в этом случае обе функции стремятся к конечным пределам соответственно, что доказывает справедливость асимптотической формы (29).

2) когда . Результаты, которые мы получим, не зависят от поведения на бесконечности. Предположим только, что

Этот случай соответствует экспоненциальным решениям в задачах с прямоугольным потенциалом.

Мы покажем, что при

— существует одно частное решение (определенное с точностью до постоянного множителя) уравнения (5), стремящееся к 0 не медленнее, чем

— все другие решения стремятся к не медленнее, чем

Поскольку решения определены с точностью до постоянной, фиксируем эту постоянную условием и рассмотрим поведение решений, удовлетворяющих этому условию нормировки. Некоторые из таких решений представлены на рис. 15.

Обозначим через частные решения, определенные условиями

тогда искомые решения можно записать в виде

Параметр может принимать все значения между

Решения остаются положительными во всем интервале и стремятся к бесконечности не медленнее, чем Действительно, как всякое решение уравнения (5), эти функции всюду имеют тот же знак, что и их вторые производные. Отсюда следует, если учесть начальные условия, что они могут только бесконечно расти, причем график все время остается выпуклым вниз. Чтобы оценить скорость возрастания, заметим, что и сравним эти функции с решениями дифференциального уравнения удовлетворяющими тем же начальным условиям в точке а именно соответственно; всюду больше этих решений (или равны им).

Рис. 15. Диаграмма, представляющая некоторые решения уравнения (5), удовлетворяющие условию в случае, когда для

Применяя теорему вронскиана, имеем

поэтому

Интегрируя, получаем

Аналогично доказываем, что Заметим попутно, что

поэтому на бесконечности аналогично на бесконечности . С другой стороны (следствие 2)

Введем функции

Из равенства (34) и того факта, что являются решениями уравнения (5), следует:

В интервале и есть убывающая функция, а — функция возрастающая, причем их разность на бесконечности обращается в нуль. Поэтому они имеют общий (положительный) предел С при и

Учитывая (35), это неравенство можно переписать в виде

Частное решение

и его производная

удовлетворяют всюду неравенствам

Всюду положительная функция у стремится к нулю не медленнее, чем , следовательно, не медленнее, чем . Всюду отрицательная функция у стремится к нулю не медленнее, чем Решение у есть решение, обращающееся в нуль на бесконечности, которое мы ищем.

Не существует других решений, обладающих этим свойством, так как если , то решение может быть записано в виде

и его асимптотическое поведение совпадает с поведением функции с точностью до отличного от нуля множителя .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление