Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14. Замечание по поводу четности

Возвратимся к понятию четности, которое нам встретилось первый раз при рассмотрении примера с бесконечно глубокой потенциальной ямой. Это свойство имеет самый общий характер.

Если потенциал четный, т. е. если

то гамильтониан уравнения Шредингера также инвариантен относительно замены х на он симметричен относительно начала координат. Поэтому если есть собственная функция, принадлежащая собственному значению Е,

то уравнение не меняется при замене х на -х, т. е.

Следовательно, а также четная функции и нечетная функция являются собственными функциями одного собственного значения Е. По крайней мере одна из двух последних функций не равна тождественно нулю. Возможны два случая:

1. Собственное значение Е не вырождено. Четыре упомянутые функции равны друг другу с точностью до постоянных множителей. Функция пропорциональна той из функций которая не равна тождественно нулю (другая необходимо есть тождественный нуль). Таким образом, собственные функции невырожденной части спектра имеют определенную четность: одни четные, другие нечетные. Кроме того, четная функция обязательно имеет четное число узлов, а нечетная функция — нечетное число узлов. Следовательно, если располагать собственные функции по порядку возрастающих собственных энергий, то четные и нечетные функции чередуются, причем функция основного состояния всегда четная. Результаты § 5 подтверждают эти выводы.

2. Собственное значение Е вырождено. В этом случае все функции могут быть представлены в виде где две линейно независимые собственные функции. Предположим, что хотя бы одна из этих функций, например не имеет определенной четности; в этих условиях ни одна из функций не обращается тождественно в нуль. Эти две функции противоположной четности обязательно линейно независимы и, как мы видели, являются собственными функциями одного собственного значения Е. Поэтому можно выразить , следовательно, в виде линейной комбинации Таким образом, всегда можно выразить собственные функции вырожденного собственного значения в виде линейной комбинации двух функций, имеющих определенную четность.

Можно, впрочем, убедиться в результате простого исследования, что собственные значения непрерывного спектра все двукратно вырождены и каждому из них соответствует одна собственная функция четная (производная функции равна нулю в начале координат) и одна функция нечетная (функция равна нулю в начале координат).

В квантовой механике часто случается, что гамильтониан исследуемой системы оказывается инвариантным относительно некоторых преобразований; из этого свойства инвариантности следуют некоторые свойства симметрии, характеризующие собственные функции уравнения Шредингера. Четность дает нам простой пример такой ситуации.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление