Главная > Физика > Квантовая механика, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Теорема Эренфеста

Теорема Эренфеста выражает закон изменения во времени средних значений координат и сопряженных импульсов квантовой системы. Теорема утверждает, что уравнения движения этих средних величин формально тождественны уравнениям Гамильтона классической механики, если только все величины, фигурирующие в обеих частях классических уравнений, заменить на соответствующие средние значения.

Теорема Эренфеста непосредственно следует из общего уравнения (V. 72), если применить его к переменным положения и импульса.

Пусть — координаты (декартовы), — сопряженные им импульсы и гамильтониан системы. Согласно уравнению (V. 72),

Вычисление коммутаторов в правых частях уравнений было проведено в гл. V (уравнения (V. 67), (V. 68)). Отсюда следует результат:

Следует хорошо понимать связь между системой уравнений (1) и канонической системой Гамильтона. Вообще говоря, нельзя утверждать, что средние значения следуют законом классической механики. Производные по времени классических величин являются вполне определенными функциями этих величин; эволюция последних с течением времени полностью определяется заданием их значений в начальный момент. Согласно же уравнениям (1) производные равны некоторым средним значениям, вычисление которых в общем случае требует знания волновой функции Средние значения следуют законам классической механики только в той мере, в какой можно заменить в правых частях (1) средние значения функций на функции: средних значений, именно

Эта подстановка справедлива только в том случае, если гамильтониан есть полином второго порядка по (свободна» частица, гармонический осциллятор, заряженная частица в постоянных электрическом и магнитном полях, см. задачи 1 и 2). Во всех остальных случаях, делая подстановку, мы пренебрегаем флуктуациями около их средних значений.

Рассмотрим в качестве примера случай частицы в потенциальном поле

Введем силу

Уравнения Эренфеста в этом случае таковы:

или

что является квантовым аналогом уравнения Ньютона.

Чтобы среднее положение

действительно удовлетворяло классическому уравнению Ньютона, необходимо в уравнении (3) заменить среднее значение силы

на значение силы в точке Если сила вообще равна нулю (свободная частица) или линейно зависит от радиуса-вектора (гармонический осциллятор), то справедливо точное равенство Во всех остальных случаях указанная замена оправдана только, если волновая функция остается локализованной в достаточно малой области пространства, где величину силы можно считать практически постоянной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление