Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Интегральное уравнение теории рассеяния

До сих пор определялось как решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее определенным асимптотическим условиям. Теперь мы покажем, что является также решением некоторого интегрального уравнения. В результате мы сможем разложитьф в ряд по степеням потенциала V и вычислить поправки к борновскому приближению. Для этого мы воспользуемся тождеством

Из него следует, что функция

удовлетворяет уравнению

- функция Грина свободной частицы с энергией Комплексно-сопряженная функция обладает тем же свойством.

Запишем уравнение Шредингера для

Предположим, что нам известна функция Тогда для получим неоднородное дифференциальное урав» нение в частных производных. Из (31) следует, что функция

является решением этого уравнения. Общее решение получится добавлением к общего решения однородного уравнения. Другими словами, если удовлетворяет уравнению (32), то — плоская волна с той же энергией

и наоборот.

Для полного определения этой плоской волны необходимо найти ее асимптотическое поведение. Покажем вначале, что стремится асимптотически к расходящейся волне. Подставляя в (30) асимптотическое разложение

для имеем

отсюда

Это выражение справедливо, когда много больше радиуса действия потенциала Следовательно, если асимптотика определена формулой (3), то будет также иметь асимп тотику расходящаяся волна). Поскольку она также удовлетворяет уравнению (33), то она должна быть плоской волной. Поэтому

Уравнение (36) эквивалентно уравнению (3). Оно называется интегральным уравнением теории рассеяния.

Используя (34), асимптотическое поведение можно вывести непосредственно из правой части уравнения (36); свойство (15) можно доказать тем же способом.

Приведенные рассуждения можно повторить, заменив функцию на комплексно сопряженную , которая также является функцией Грина свободной частицы, но соответствует асимптотическому условию со сходящейся (сферической) волной. В результате получим интегральное уравнение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление