Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Упругое рассеяние электронов на атоме

В качестве приложения рассмотрим упругое рассеяние заряженной частицы на атоме. В принятой нами упрощенной трактовке атом рассматривается как распределение электрических зарядов. Вычислим в борновском приближении сечение рассеяния заряженной частицы на потенциале, создаваемом этим распределением зарядов. Метод даст правильное сечение, если мы будем работать в области, где борновское приближение

справедливо (см. § 21). Будем считать для определенности, что налетающей частицей является электрон. Естественно было бы учесть эффект обмена налетающего электрона с электронами атома. Однако для энергий, при которых справедливо борновское приближение, такой эффект дает лишь малые поправки, поэтому мы им пренебрегаем.

Атом, по предположению, будем считать нейтральным. Обозначим атомный номер а плотность электронов —

Электрический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

На электрон действует потенциал

который удовлетворяет аналогичному уравнению. Совершив преобразование Фурье, получаем соотношение

которое связывает функцию (определение (25) или (27)) и функцию

Используя (47), получим сечение в борновском приближении (ур. (26))

Функция называется форм-фактором плотности электронов. Ее общую форму можно легко получить из . В частности, имеем Пусть а — радиус атома, т. е. среднее расстояние электронов от ядра. Тогда функция в существенном отлична от нуля лишь в области

Например, если плотность электронов определена функцией

то форм-фактор равен

Когда т. е. для больших углов рассеяния,

форм-фактор практически исчезает и формула (49) сводится к формуле Резерфорда, дающей сечение рассеяния только на ядре. Влияние электронов атома при этом пренебрежимо мало.

Их влияние становится существенным, если Следовательно, эффект экранировки значителен для малых углов

Это согласуется с классической картиной, в которой малые углы рассеяния соответствуют большим придельным параметрам.

В заключение проверим справедливость борновского приближения.

Радиус действия потенциала имеет порядок а. Оценка, использующая модель Томаса — Ферми, дает

За среднее значение потенциала можно принять величину кулоновского потенциала ядра при

В дальнейшем мы используем привычные обозначения

так что

Критерий (41) требует, чтобы , следовательно, никогда не реализуется. Таким образом, борновское приближение оправдано лишь для достаточно больших энергий. В этой области , т. е. для критерий (43) требует

Итак, борновское приближение справедливо лишь при достаточно высоких энергиях, для которых . В этом случае эффект экранировки существен лишь при очень малых углах и становится практически неощутимым вне области, определяемой неравенством (50), т. е. вне области . Экспериментальное определение форм-фактора возможно посредством точных измерений углового распределения при малых углах и больших энергиях и последующего использования формулы (49).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление