Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Раздел II. ОБОБЩЕНИЕ НА ИСКАЖЕННЫЕ ВОЛНЫ

§ 11. Обобщенное борновское приближение

Может случиться, что потенциал слишком велик для использования борновского приближения, но мы в состоянии точно решить задачу рассеяния для потенциала, близкого к V. Тогда удобно рассматривать разность между ними как возмущение, которое легко учесть, используя простое обобщение методов раздела I.

Пусть

Тогда имеем

где Н — невозмущенный гамильтониан, — возмущение. Будем считать, что и V стремятся к нулю быстрее, чем (обобщение на потенциалы будет сделано в § 15). Стационарные состояния предполагаются известными. Будем обозначать их буквой х, а соответствующие амплитуды — буквой . В дальнейшем мы следуем обозначениям § 2. Величины определены соотношениями

Все результаты раздела I, относящиеся к гамильтониану Н, справедливы также и для . В частности, можно определить матрицу перехода для столкновений при энергии Е, описываемых гамильтонианом Обозначим ее

Вспомним, что в § 2 мы получили

Интегральное представление для разности можно получить, используя (9). Пусть

Тогда получим

Аналогично, если

Из соотношений (71) и (72) следует

что является обобщением соотношения (18).

Любое из этих двух интегральных представлений можно использовать для построения теории возмущений. Соотношение

Это — точное выражение для амплитуды перехода. Первый член дает амплитуду перехода при отсутствии Второе слагаемое дает поправку, обусловленную Для достаточно малых точная стационарная волна мало отличается от и может быть заменена последней в поправочном члене. Таким образом, получаем амплитуду перехода с точностью до первого порядка по возмущению

Это обобщение борновского приближения (см. ур. (23)). Отметим, что в интеграле возмущения

одновременно присутствуют стационарные решения, соответствующие уходящим и приходящим волнам.

Если взять то получим обычное борновское приближение. В общем случае, когда вычислить этот интеграл гораздо труднее, чем интеграл из формулы Борна. Ситуация становится отчасти проще, когда и и V сферически симметричны. Тогда можно использовать разложения (задача 4)

где означает регулярное решение радиального уравнения

с асимптотическим поведением

Здесь — сдвиг фазы -волны в потенциале Подставляя разложения в интеграл (76) и интегрируя по углам, находим

Сходимость данного разложения тем лучше, чем меньше радиус действия .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление