Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 13. Момент импульса и инфинитезимальные вращения

Теперь мы можем установить фундаментальную связь между моментом импульса системы и операторами бесконечно малых (инфинитезимальных) вращений.

Как и в § 11, рассмотрим вначале случай одной частицы. Согласно (47) вращение на угол а вокруг оси переводит функцию (см. ур. (44)) в

В результате бесконечно малого вращения оставляя в правой части только члены первого порядка по тейлоровского разложения в точке получаем

Последнее равенство следует из определения дифференциального оператора Следовательно, оператор инфинитезимального вращения имеет вид

Для инфинитезимального вращения вокруг вектора и, используя аналогичные рассуждения, имеем

Тот же результат получается для системы N частиц. Для этого достаточно, исходя из (48), проделать те же преобразования, что и в случае одной частицы (47)

или в более общем виде

где — полный момент импульса системы.

Итак, справедливо утверждение.

Если — полный момент импульса системы, то его компонента по произвольной оси и связана с оператором инфинитезимального вращения вокруг этой оси соотношением

В случае, когда система не имеет классического аналога, это фундаментальное соотношение служит определением момента импульса.

Для согласованности этого определения нужна уверенность в том, что оператор является компонентой некоторого векторного оператора по направлению и. Для этого достаточно, чтобы каждому инфинитезимальному вращению соответствовал один и только один оператор инфинитезимального вращения Согласно закону преобразования векторов (40)

операция эквивалентна, в первом порядке по произведению операций что дает

Из этого определения следует, что любой скалярный оператор S коммутирует с компонентами (ур. (53))

Из соотношения (55) получаются также правила коммутации компонент с компонентами произвольного векторного оператора К. Пусть К а — компонента К по направлению вектора а. По определению, ее преобразование при вращении равно

Кроме того, согласно закону преобразования вектора а (ур. (40)), имеем

Приравнивая в этих выражениях члены первого порядка по , получаем

или иначе

Подставляя вместо К оператор снова получаем коммутационные соотношения, характеризующие момент импульса (ур. (4)).

Следующее определение полного момента импульса эквивалентно данному ранее:

Если фундаментальными наблюдаемыми системы являются скалярные операторы и компоненты векторных операторов , то, по определению, полный момент импульса системы — это векторный оператор компоненты которого коммутируют со всеми S и удовлетворяют коммутационным соотношениям (57) с компонентами операторов

Если соотношения (57) выполняются не для всех векторных операторов не является полным моментом импульса системы, даже если выполняются коммутационные соотношения (4). Так, для рассмотренного в § 11 случая N частиц любой векторный оператор, являющийся суммой некоторого числа моментов отдельных частиц, будет удовлетворять соотношениям (4), но только сумма всех равна полному моменту импульса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление