Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 33. Свойства инвариантности T-матрицы

Исследуем теперь следствия инвариантности по отношению к вращениям, отражениям и вообще к преобразованиям, которые представляются унитарными операторами.

Если инвариантны относительно данного унитарного преобразования X, то справедливо соотношение (ср. § XV. 13)

(N. В. Это соотношение отличается от соотношения микрообратимости по содержанию реакции, описываемой амплитудой в левой части.)

Для доказательства (191) необходимо только заметить, что согласно определению (144) оператор также инвариантен относительно преобразования X

и, следовательно,

Из (191) легко получить следующее соотношение для сечений:

которое подобно соотношению (190).

Предположим теперь, что полный гамильтониан Я и различные «невозмущенные» гамильтонианы инвариантны относительно преобразований некоторой группы . Как мы увидим, это приведет к некоторым свойствам Т-матрицы, аналогичным тем, которые были получены в § XV. 11 для матриц, задающих наблюдаемые, инвариантные по отношению к

Будем использовать обозначения § XV. 11 и рассмотрим два определенных там множества наблюдаемых и М. Пусть — один из каналов, открытый для столкновений при энергии Е. Операторы и М образуют набор коммутирующих наблюдаемых.

Обозначим через векторы общего базиса (мы будем предполагать, что это стандартный базис, отвечающий группе хотя такое ограничение несущественно). Индекс соответствует рассматриваемому каналу, собственное значение обозначают собственные значения и М соответственно, — дополнительное квантовое число, которое меняется в области, зависящей от значений Векторы ортонормированы

Будем для простоты считать индекс дискретным. Так обстоит дело в случае -частичного канала, если — группа вращений или содержит ее как подгруппу. Тогда принимает конечное число дискретных значений.

Рассмотрим столкновение при фиксированной энергии Е и переход из некоторого канала в другой канал согласно высказанной выше гипотезе соответствующий оператор (определение (144)) инвариантен относительно преобразований из группы Как очевидное обобщение свойства (XV. 52) имеем

где зависит от квантовых чисел и не зависит от Все следствия, вытекающие из инвариантности но отношению к группе содержатся в уравнении (193).

Следовательно, каждой паре открытых каналов соответствует некоторое число коэффициентов Те из коэффициентов, которые отвечают данному значению и Е фиксированы; меняются), образуют квадратную матрицу, которую мы обозначим Она аналогична Г-маг рице, только ее размерность, как правило, значительно меньше. В частности, если содержит группу вращений, а во всех открытых каналах имеется не более двух частиц, то — конечная матрица; если же открыт только один канал и обе частицы бесспиновые, то — одномерна, т. е. представляет собой число, равное с точностью до легко определяемого множителя коэффициенту в разложении (51).

Легко разложить амплитуду перехода в ряд из матриц Для этого рассмотрим формулу (145), которую мы преобразуем, используя соотношения полноты для стандартных базисов, отвечающих каналам а и и свойство (193). Коэффициенты разложения зависят от проекций плоских волн на базисные векторы. Обозначая плоскую волну с энергией Е в канале можно записать:

Используя это обозначение, после небольших вычислений находим

Полученное разложение обобщает (51). Как и последнее, оно особенно полезно в случае быстрой сходимости; это верно для ядерных столкновений, когда длина волны во входном и выходном каналах велика по сравнению с радиусом действия ядерных сил, именно в такой ситуации разложение (195) используется чаще всего (см. 1-ю сноску к § 16).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление