Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Построение пространства. Представление Дирака

Нам осталось сконструировать пространство Операторами в этом пространстве являются четыре основных оператора: и различные функции от этих операторов. Пространство должно быть неприводимым по отношению к этому набору операторов.

Для построения мы используем свойство эрмитовости четырех основных операторов и соотношения (40), которые определяют их алгебраические свойства.

Эти свойства аналогичны свойствам трех операторов нерелятивистской теории спина 1/2. В этом случае размерность пространства спиновых переменных равна двум. Оно строилось следующим образом. Так как — эрмитов оператор

и , то его собственными значениями могут быть только ±1. Более того, с каждым собственным вектором можно связать другой собственный вектор, отвечающий собственному значению противоположного знака. Рассмотрим, например, вектор такой, что Тогда в силу антикоммутативности для вектора получим . В результате имеем Следовательно, пространство, натянутое на векторы инвариантно по отношению к действию операторов и по отношению к функциям от этих операторов (а именно Из способа построения пространства видно, что оно неприводимо, следовательно, нами построено искомое пространство . В представлении, где базисными векторами являются операторы задаются матрицами Паули (см. § XIII. 19 или формулу

Сведем задачу построения к предыдущей. Рассмотрим операторы определяемые равенствами

Четыре основных оператора выражаются через и о по формулам

Таким образом, построение свелось к построению пространства, неприводимого по отношению к операторам и а. Легко показать, что:

(i) каждый оператор коммутирует с каждым а;

(ii) а — три антикоммутирующих эрмитовых оператора, квадраты которых равны единице;

(iii) р — три антикоммутирующих эрмитовых оператора, квадраты которых равны единице.

Следовательно (см. § VIII. 7):

(i) есть тензорное произведение

пространства неприводимого по отношению к и пространства неприводимого по отношению к а;

(ii) размерность равна двум и оно может быть построено приведенным выше способом;

(iii) размерность также равна двум и оно может быть построено тем же способом.

Таким образом, размерность пространства равна четырем.

В следующих разделах мы покажем, что операторы о связаны со спином, знаком энергии, поскольку уравнение

Дирака, так же как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательной энергией. В частности, мы увидим, что а есть полярный векторный оператор, а аксиальный векторный оператор. Кроме того, формально имеем

Оператор спина электрона есть , а знак энергии определяется собственным значением оператора

Динамическое состояние электрона определяется волновой функцией имеющей 4 компоненты, что в два раза больше, чем в нерелятивистской теории частицы со спином Представление, в котором и а задаются матрицами Паули (см. ур. (VII. 65) - (VII. 66)), называется представлением Дирака. В этом представлении каждая компонента отвечает определенной ориентации спина по оси и определенному знаку энергии.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление