Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17. Операторы преобразования. Импульс, момент импульса, четность

Для того чтобы продолжить этот анализ в соответствии с общей схемой, которая была развита в главе XV, мы запишем закон преобразования (104) в виде

где Т — соответствующий линейный оператор. Инвариантность уравнения Дирака при преобразованиях можно тогда выразить как соотношение между операторами

где — операторы Дирака с потенциалами

Условие того, что уравнение движения не меняется при преобразовании можно записать как соотношение коммутации

Оператор Т легко построить. Он является произведением операторов действующего только на спиновые переменные, и действующего только на орбитальные переменные,

Сравнивая формулы (109) и (104), видим, что

где обозначает оператор, который представляется определенной в § 11 матрицей .

Найдем явный вид Т для инфинитезимальных трансляций и лореицевых «поворотов» и для отражения

В случае трансляций Введем дифференциальный оператор

который представляет собой четырехмерный вектор энергии-импульса (более точно — ковариантные компоненты этого -вектора). Для бесконечно малого сдвига на вдоль оси нахо

Рассмотрим «инфинитезимальный поворот» на угол в плоскости . В этом случае имеем

Если — некоторая компонента спинора Ч, то в первом порядке по

Введя дифференциальный оператор

перепишем предыдущее соотношение в виде

С другой стороны, на основании формул (90) и (113) имеем;

где — оператор, определяемый равенством (92). Окончательно формула (109), которая выражает закон преобразования спиноров, для случая «инфинитезимального поворота» при нимает вид

где

Три пространственных компоненты оператора связаны с инфинитезимальными вращениями вокруг осей соответственно. Они являются компонентами пол ного момента импульса и справедливы равенства

Компоненты действуют только на орбитальные переменные: — оператор орбитального момента импульса. Компоненты S действуют только на внутренние переменные: S - оператор спина частицы.

Легко показать, что и S удовлетворяют коммутационным соотношениям, характеризующим момент импульса, и откуда следует, что спин частицы равен 1/2.

Оператор, связанный с пространственным отражением, называется оператором четности и обозначается Р. Пусть обозначает оператор «орбитальной четности»:

В силу равенства (113) и результатов § 13 (см. равенство (102)), мы можем выбрать для Р два выражения, отличающиеся знаком. Выберем наиболее часто употребляемое

Отметим, что оператор Р эрмитов и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление