Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 32. ФВ-преобразование для свободной частицы

В случае свободной частицы малые и большие компоненты можно полностью разделить во всех порядках

Рассмотрим гамильтониан Дирака

Пусть — проекторы на решения с положительной и от рицательной энергией соответственно

Пусть — проекторы на подпространства больших и малых компонент:

По определению, оператор который переводит величины ФВ-представление, преобразует Обозначая штрихом векторы и операторы в ФВ-представлении, можно, следовательно, записать, что

Потребуем также, чтобы оператор был инвариантен относительно трансляций, вращений и отражения. Предоставим читателю доказательство того, что в этом случае определен точностью до фазового множителя. Фиксируя эту фазу, получаем

Легко проверить, что данное выражение удовлетворяет всем упомянутым требованиям.

Поскольку оператор не зависит от времени, гамильтониан который определяет зависимость от времени векторов состояния в ФВ-представлении, дается равенством

Используя выражение (196), получаем

В силу четности оператора большие Ф и малые компоненты расцепились в уравнении движения

Если мы ограничимся решениями с положительной энергией (a fortiori нерелятивистскими энергиями), то теория Дирака будет эквивалентна во всех порядках двухкомпонентной теории, которая описывается уравнением (198 а).

Оператор коммутирует с и оператором четности Р, но не коммутирует с оператором . В представлении, где оператор диагонален, задается интегральным оператором с матричными элементами

Откуда, используя формулу (196), находим

Матричный элемент является функцией которая практически исчезает при и сосредоточена в области, где меньше или порядка Следовательно, ФВ-представление является нелокальным преобразованием, при котором спинор — преобразование спинора — получается некоторым усреднением значений спинора по окрестности точки и линейные размеры этой окрестности имеют порядок — длины комптоновской волны частицы.

Оператор координаты частицы определяется в ФВ-представлении равенством

Этот оператор отличен от Следуя Фолди и Вотхойзену, мы будем называть величину, которая задается оператором в ФВ-представлении, усредненной координатой. В исходном представлении она задается некоторым оператором скольку имеем

В представлении Дирака является нелокальным оператором. Действие этого оператора на спинор состоит, грубо говоря, в умножении на и замене значения в каждой точке на некоторое усредненное значение спинора по области порядка с центром в этой точке. Это объясняет приведенное выше название усредненной координаты.

Если Q — четный оператор в ФВ-представлении, то в двухкомпоцентной теории ему соответствует наблюдаемая которая получается, если в Q оставить только матричные элементы между векторами из подпространства больших компонент: . В частности, наблюдаемая соответствующая координате в двухкомпонентной теории, отвечает «средней координате» а не оператору координаты собственно теории Дирака).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление