Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. Спин 1/2 и матрицы Паули

Пусть s — оператор внутреннего момента импульса (или вектор спина) частицы спина . Согласно гипотезе собственное значение равно Каждая из компонент, например может принимать одно из двух значений или —1/2. Будем предполагать эти собственные значения невырожденными. Следовательно, компоненты s будут операторами в пространстве двух измерений, где в качестве базисных векторов можно выбрать два собственных вектора операторов

В этом базисе легко выписать матрицы, соответствующие операторам Это будут конкретные матрицы матричные элементы которых определяются уравнениями (28).

Кроме коммутационных соотношений для момента импульса, компоненты s удовлетворяют следующим замечательным ношениям:

Поскольку

получаем

Следовательно, операторы попарно антикоммутируют).

Удобно ввести матрицы Паули

явный вид которых следующий:

Перечислим основные свойства этих матриц, которые следуют из их определения и легко проверяются, если воспользоваться

их явным видом,

Справедливо важное тождество (задача 9)

где два произвольных вектора

Поскольку s есть момент импульса, то оператор преобразующий векторы данного пространства при вращении равен, согласно формуле (58),

где . Раскладывая экспоненту в ряд и суммируя по отдельности члены четные и нечетные по а также используя равенства (см. ур. (83))

получаем простое выражение

Отметим, что оператор вращения на равен —1, в соответствии с результатами § 15.

Оператор, отвечающий вращению в силу формулы (60) равен

Его явный вид можно вычислить тем же способом, что и для ответ приведен в Дополнении В (формула (В. 74)).

Векторы рассматриваемого здесь пространства аналогичны векторам обычного пространства. Последние представляют

собой геометрические объекты с тремя компонентами, которые при вращениях преобразуются друг через друга по определенному закону. Такую же ситуацию мы имеем и для рассматриваемых здесь векторов (закон преобразования (85)), за исключением того, что они имеют две компоненты вместо трех. Эти двухкомпонентные объекты называют спинорами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление