Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Лагранжиан поля. Импульс, сопряженный к Ф(r)

Прежде чем продолжать рассмотрение квантовой теории, вернемся к классической и опишем кратко обобщения лагранжева и гамильтонова формализмов для систем с бесконечным

числом степеней свободы. Если координаты нумеруются дискретным индексом, то обобщение очевидно. Такое обобщение было использовано в случае с нормальными координатами. Ситуация становится сложнее, если координаты зависят от непрерывного индекса, например, координаты поля определяются его амплитудой в каждой точке пространства. Именно такой выбор координат интересует нас здесь.

Функция Лагранжа зависит от координат системы и скоростей; в данном случае — функционал от . Предположим, что она имеет вид

Плотность лангражиана 2 зависит от через Ф, градиент

Зная можно определить действие

которое также является некоторым функционалом от Уравнения движения получаются из принципа наименьшего действия (ур. (1.12))

Из равенства (22) следует, что уравнения движения удовлетворяют принципу относительности, если плотность лагранжиана 2 ведет себя при преобразованиях из группы Лоренца как скаляр. Это условие на 2 упрощает нахождение функции Лагранжа.

В данном случае уравнения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями в частных производных для которые получаются из принципа наименьшего действия

Это есть уравнение движения для поля Ф.

Для более строгого определения координат поля делим мысленно все пространство на бесконечно малые области. Каждой такой области отвечает координата системы — величина Уравнения движения определяют зависимость координат от времени. В соответствии с обычным определением

импульс сопряженный координате , равен функциональной производной по скорости

Использованное здесь понятие функциональной производной является естественным обобщением понятия частной производной, и есть вариация при условии, что Ф меняется на бесконечно малую величину в малой области в окрестности точки и не меняется в остальной части пространства.

После того как мы определили для каждой координаты сопряженный импульс, можно сосчитать, в соответствии со стандартным определением (ур. (I. 13)), функцию Гамильтона, которая является функционалом от Ф и П

где — плотность гамильтониана. Канонические гамильтоновы уравнения имеют вид (см. ур. (I. 14))

В случае свободного скалярного поля в качестве плотности лагранжиана можно взять функцию

поскольку уравнение (24) тогда совпадает с уравнением (1). Сопряженный к Ф импульс равен

а функция Гамильтона имеет вид

Функция Н совпадает с полученной ранее функцией (10), которая записана в терминах нормальных координат. Для того чтобы это показать, достаточно заменить Ф и П их разложениями по и воспользоваться свойствами функций

Разложение для Ф мы знаем (ур. (5)). Для П из уравнения (25) получаем

По определению в силу уравнения (6)

откуда

следовательно, мы имеем

Подставляя полученные разложения в Н, имеем

Интегрируя по частям и применяя уравнение (2), получаем равенство

Подставляя полученное выражение в правую часть (32), используя соотношения ортонормированности функций и определение (8), получаем упомянутое совпадение

(Напомним, что в квантовом случае данное выражение отличается от выражения (20) на бесконечную константу.)

При квантовании поля в качестве основных переменных можно брать как или и так и Коммутационные соотношения для Ф и П можно получить из коммутационных соотношений для и Из уравнений (13) и разложения (31) находим

Используя разложения (18) и (33), коммутационные соотношения для и соотношение замкнутости (4), получаем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление