Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Подгруппы

Определение. Множество называется подгруппой группы если оно является группой, все элементы которой содержатся в

Примеры. Вращения вокруг оси образуют подгруппу группы сдвиги, параллельные оси образуют подгруппу группы пространственных трансляций.

Класс смежности. Если х — элемент группы то, используя произвольный элемент подгруппы мы можем образовать новый элемент Обозначим множество всех элементов, построенных таким образом, Имеется взаимнооднозначное соответствие между элементами из и элементами из

Следует различать два случая:

(а) если то совпадает с

если то множество не образует группу, оно называется левым классом смежности подгруппы

Правые классы смежности определяются аналогично. В дальнейшем мы будем рассматривать только левые классы смежности. Очевидно, что правые классы смежности имеют те же свойства, что и левые.

Два класса смежности либо совпадают, либо не содержат общих элементов вовсе, в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит элемент подгруппе .

Каждый элемент из принадлежит либо подгруппе либо одному из классов смежности Подгруппа и ее различные классы смежности составляют всю группу

Подгруппы, сопряженные подгруппе . Если — подгруппа группы — элемент не принадлежащий то множество акже является подгруппой в и называется подгруппой, сопряженной с . Если то совпадает с подгруппой .)

Сопряженные с подгруппы не обязаны различаться между собой или быть отличными от .

Инвариантная подгруппа, фактор-группа. Подгруппа называется инвариантной подгруппой группы если совпадает со всеми сопряженными с подгруппами

Эквивалентное определение. Подгруппа группы является инвариантной, если ее элементы полностью исчерпывают элементы одного или нескольких классов сопряженных элементов.

(N. В. Второе определение особенно полезно при описании всех инвариантных подгрупп данной группы.)

Если — инвариантная подгруппа, а — два ее левых класса смежности, то произведение элемента из на элемент из принадлежит классу смежности

(N. В. Если — инвариантная подгруппа, то

Множество, образованное инвариантной подгруппой и всеми ее классами смежности, образует группу, в которой является единичным элементом. Эта новая группа называется фактор-группой группы 3 по

Пример. Группа четных перестановок объектов является инвариантной подгруппой в Она имеет один и только один класс смежности — множество нечетных перестановок, так что фактор-группа состоит из двух элементов.

Простая и полупростая груп Группа называется простой, если единичный элемент является единственной инвариантной подгруппой в ней.

Пример. Группа пространственных вращений.

Группа называется полупростой, если единичный элемент является единственной абелевой инвариантной подгруппой.

Пример. Группа

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление