§ 5. Изоморфизм, гомоморфизм
Изоморфизм. Две группы
называются изоморфными, если существует взаимнооднозначное соответствие между их элементами, сохраняющее закон умножения, т. е.:
(i) каждому элементу
группы
соответствует один и только один элемент
из
и наоборот;
Примеры. Преобразования симметрии равностороннего треугольника образуют группу, изоморфную
Гомоморфизм. Если соответствие между элементами групп
не взаимнооднозначно, то эти группы гомоморфны.
Точнее, группа
гомоморфна если:
(i) каждому элементу
группы
соответствует один и только один элемент
группы
, а каждому элементу группы
соответствует по крайней мере один (а возможно, и большее число) элемент группы
(ii) из
следует, что
Если S имеет инвариантную подгруппу
то
гомоморфна фактор-группе
Если
гомоморфна
, то множество
элементов из
гомоморфных единичному элементу В группы
, образует инвариантную подгруппу в 3, а множество элементов из
гомоморфных заданному элементу из
отличному от У, образует класс смежности в группе
фактор-группа
изоморфна
.