§ 5. Изоморфизм, гомоморфизм

Изоморфизм. Две группы называются изоморфными, если существует взаимнооднозначное соответствие между их элементами, сохраняющее закон умножения, т. е.:

(i) каждому элементу группы соответствует один и только один элемент из и наоборот;

Примеры. Преобразования симметрии равностороннего треугольника образуют группу, изоморфную

Гомоморфизм. Если соответствие между элементами групп не взаимнооднозначно, то эти группы гомоморфны.

Точнее, группа гомоморфна если:

(i) каждому элементу группы соответствует один и только один элемент группы , а каждому элементу группы соответствует по крайней мере один (а возможно, и большее число) элемент группы

(ii) из следует, что

Если S имеет инвариантную подгруппу то гомоморфна фактор-группе

Если гомоморфна , то множество элементов из гомоморфных единичному элементу В группы , образует инвариантную подгруппу в 3, а множество элементов из гомоморфных заданному элементу из отличному от У, образует класс смежности в группе фактор-группа изоморфна .