Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 28. Приложение: система двух нуклонов

Для того чтобы рассмотреть применения теоремы сложения угловых моментов, вернемся к системе двух нуклонов из § 23. Мы будем исследовать уравнение Шредингера с различной формой зависимости потенциала от спина. Ограничимся рассмотрением потенциалов (99).

Допустим, что потенциал имеет вид

В этом случае гамильтониан коммутирует с и S и собственные функции являются произведениями спиновых функций и функций от с определенным орбитальным моментом . В силу тождества (106) потенциал имеет различный вид в зависимости от того, равно ли S нулю или единице. Таким образом, решение уравнения Шредингера эквивалентно решению двух уравнений Шредингера для бесспиновой частицы в центральных потенциалах, которые отвечают двум возможным значениям Если то орбитальная часть собственной функции та же, что и для бесспиновой частицы в потенциале ; если же то она та же, что и для частицы в потенциале . Проблема определения собственных значений

свелась к решению радиального уравнения для каждой пары значений

Если потенциал имеет вид

то гамильтониан не инвариантен относительно независимых вращений пространства и спинов, но поскольку он все еще коммутирует с можно искать общие собственные функции Каждому набору отвечают такие функции, зависимость которых от углов и от спиновых переменных полностью определена и явно выражается с помощью коэффициентов К. — Г.

Так, три функции состояния имеют следующую «угловую зависимость»: . Пять функций состояния имеют вид

Действуя гамильтонианом на функции такого типа и используя тождества (100) и (101), получаем

где

Таким образом, задача о решении уравнения Шредингера свелась к решению радиального уравнения

Мы получили такую же задачу, как и в случае бесспиновой стицы в центральном потенциале с единственным отличием, что «эффективный центральный потенциал» зависит от триплета

В качестве последнего примера рассмотрим потенциал вида

Из-за присутствия «тензорных» сил гамильтониан не коммутирует с но продолжает коммутировать с и оператором «четности» Р, введенным в § 23. Следовательно, собственные функции Я можно искать среди общих собственных функций т. е. среди функций с определенными значениями полного момента четности и спина 5.

Если то обязательно (а значит ) и собственная функция имеет вид Так как то из (102) имеем

Следовательно, удовлетворяет радиальному уравнению для частицы с моментом в потенциале

Если то обязательно и «угловая зависимость» собственной функции, как и ранее, полностью определена

Можно показать (задача 11), что функция удовлетворяет радиальному уравнению для частицы с моментом импульса в потенциале

Если то возможными значениями будут только и (если же то имеется только одно значение ) и собственная функция имеет вид

где для упрощения записи мы использовали обозначения . Теперь , действуя на или на дает комбинацию этих функций (задача 11), следовательно, выражение также будет линейной комбинацией этих функций с коэффициентами, зависящими от Как следствие уравнения эти два коэффициента равны нулю, что приводит к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для

Выпишем в качестве примера систему связных радиальных уравнений для Этот случай встречается при изучении дейтрона. Волновая функция является смесью состояний и может быть представлена в виде

Поскольку (задача 11)

и

уравнение эквивалентно системе уравнений:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление