§ 32. Представление неприводимых тензорных операторов. Теорема Вигнера — Эккарта

Наиболее важное свойство неприводимых тензорных опера торов отражено в теореме Вигнера — Эккарта:

В стандартном представлении базисные векторы которого обозначим матричный элемент стандартной компоненты данного неприводимого тензорного оператора порядка, равен произведению коэффициента Клебша — Гордана

на величину, не зависящую от

Таким образом, справедлива формула

где величина которая называется приведенным матричным элементом, зависит от индексов и характеризует данный тензорный оператор (множитель введен для удобства).

Для доказательства теоремы рассмотрим векторов

Образуем следующие линейные комбинации этих векторов:

Используя соотношения ортогональности для коэффициентов К. — Г. (ур. (110б)), получаем

Отметим, что векторы могут и не быть линейно независимыми, поэтому некоторые из векторов могут обратиться в нуль.

Из формул (123 а) и (124) вытекает, что

и, следовательно,

В силу рекуррентных соотношений (111) для коэффициентов К. — Г. выражение, стоящее в скобках, равно

и мы получаем в правой части вектор или, более Точно,

Тем же методом можно показать, что

Из этих трех соотношений следует, что векторов соответствующих одному и тому же значению

либо все равны нулю;

либо являются (ненормированными) собственными векторами с моментом импульса и получаются один из другого стандартным способом.

Следовательно, все скалярные произведения обращаются в нуль за исключением тех, для которых произведений причем они не зависят от

Отсюда следует приведенная выше теорема, поскольку ричный элемент с учетом (126) равен

Среди наиболее важных следствий теоремы Вигнера — Эккарта упомянем правила отбора для оператора .

Для того, чтобы матричный элемент был отличен от нуля, необходимо одновременное выполнение соотношений:

Эти соотношения непосредственно следуют из того факта, что в правой части формулы (125) стоит коэффициент

Клебша — Гордана. На практике чаще используется второе из этих соотношений. Оно обычно формулируется в виде следствия.

Матричный элемент компоненты неприводимого тензорного оператора порядка между двумя векторами с моментами обращается в нуль, если не удовлетворяет неравенствам: