§ 32. Представление неприводимых тензорных операторов. Теорема Вигнера — Эккарта
Наиболее важное свойство неприводимых тензорных опера торов отражено в теореме Вигнера — Эккарта:
В стандартном представлении
базисные векторы которого обозначим
матричный элемент
стандартной компоненты данного неприводимого тензорного оператора
порядка,
равен произведению коэффициента Клебша — Гордана
на величину, не зависящую от
Таким образом, справедлива формула
где величина
которая называется приведенным матричным элементом, зависит от индексов
и характеризует данный тензорный оператор (множитель
введен для удобства).
Для доказательства теоремы рассмотрим
векторов
Образуем следующие линейные комбинации этих векторов:
Используя соотношения ортогональности для коэффициентов К. — Г. (ур. (110б)), получаем
Отметим, что векторы
могут и не быть линейно независимыми, поэтому некоторые из векторов
могут обратиться в нуль.
Из формул (123 а) и (124) вытекает, что
и, следовательно,
В силу рекуррентных соотношений (111) для коэффициентов К. — Г. выражение, стоящее в скобках, равно
и мы получаем в правой части вектор
или, более Точно,
Тем же методом можно показать, что
Из этих трех соотношений следует, что
векторов
соответствующих одному и тому же значению
либо все равны нулю;
либо являются (ненормированными) собственными векторами с моментом импульса
и получаются один из другого стандартным способом.
Следовательно, все скалярные произведения
обращаются в нуль за исключением тех, для которых
произведений
причем они не зависят от
Отсюда следует приведенная выше теорема, поскольку
ричный элемент
с учетом (126) равен
Среди наиболее важных следствий теоремы Вигнера — Эккарта упомянем правила отбора для оператора
.
Для того, чтобы матричный элемент
был отличен от нуля, необходимо одновременное выполнение соотношений:
Эти соотношения непосредственно следуют из того факта, что в правой части формулы (125) стоит коэффициент