Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Фермионы и статистика Ферми — Дирака. Принцип запрета

Анализ, подобный приведенному выше, можно провести и в случае системы N фермионов. Ее состояния образуют подпространство

В -представлении мы получаем полный набор ортонор-мированных антисимметричных векторов, взяв по одному нормированному антисимметричному вектору (если таковые существуют) в каждом из подпространств Для существования такого вектора необходимо и достаточно, чтобы вектор был отличен от нуля. Предположим, что среди целых чисел по крайней мере одно превосходит 1. В этом случае в состоянии, описываемом вектором по крайней мере две частицы, скажем заселяют одно и то же одночастичное состояние, так что рассматриваемый вектор симметричен относительно обмена этих частиц, т. е.

Но из (27) следует

так что

Другими словами, два фермиона не могут занимать одно и то же одночастичное состояние одновременно. Это утверждение известно как принцип запрета Паули.

Предположим теперь, что каждое одночастичное состояние занято не более чем одной частицей . Вектор

является суммой взаимноортогональных векторов и, следовательно, отличен от нуля. Его норма равна Если есть N занятых одночастичных состояний, то соответствующее антисимметричное состояние описывается нормированным вектором Этот вектор можно представить в виде определителя N порядка (определитель Слэтера)

Тождество (40) можно проверить непосредственно, разложив определитель, стоящий в правой части. Более того, соотношение (40) остается справедливым, когда некоторые из одночастичных состояний тождественны, так как в этом случае две или большее число строк матрицы совпадают и определитель равен нулю, что соответствует принципу Паули.

Таким образом, каждому набору из различных состояний, выбранных из одночастичных состояний соответствует одно и только одно антисимметричное состояние, описываемое вектором (40). Полученное в результате множество векторов образует ортонормированный базис в

Фермионный газ подчиняется статистике Ферми — Дирака. Доказательство подобно доказательству аналогичного утверждения в бозонном случае. Единственное различие состоит в нумерации микроскопических состояний. Каждый набор из различных одночастичных состояний определяет одно и только одно микроскопическое состояние системы фермионов, описываемое

вектором (40). В этом и состоит основное положение статистики Ферми—Дирака, которая означает, что эти частицы неразличимы и что не более чем одна из них может находиться в каждом из одночастичных состояний.

Замечание, приведенное в конце предыдущего параграфа, применимо также и к фермионам. Оператор плотности для системы фермионов, находящихся в термодинамическом равновесии, определяется равенством (38), однако в этом случае он является оператором в

Итак, различия между тремя типами статистик для тождественных частиц обусловлено различным определением пространства векторов состояния, как это указано в табл. I.

Таблица I (см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление