§ 3. Антилинейные операторы в гильбертовом пространстве
Свойства антилинейных операторов в гильбертовом пространстве аналогичны свойствам линейных операторов. Мы кратко опишем их в том же порядке, в котором в главе VII приведены свойства линейных операторов.
Определение. Действие на кет-векторы. Если каждому кет-вектору
в гильбертовом пространстве сопоставлен некоторый кет-вектор
и если это соответствие антилинейно, то мы говорим, что
является результатом действия на
некоторого антилинейного оператора А
Свойство антилинейности можно записать в виде
Антилинейный оператор определяется своим действием на каждый из векторов полного набора линейно независимых векторов в
, в частности, своим действием на элементы базиса в
Алгебраические операции. Алгебраические операции определяются так же, как и в случае линейных операторов.
(i) Умножение на константу с. Если
то следует отметить, что
справедливо равенство
(ii) Сумма двух антилинейных операторов определяется точно так же, как и сумма линейных операторов.
(iii) Произведения: если
— антилинейные операторы, то произведение
определенное формулой
является линейным оператором. Если А — антилинейный оператор, а В - линейный, то их произведение
антилинейно. В более общем случае, если набор
содержит
операторов, из которых
линейных,
антилинейных, то произведение
линейно или антилинейно в соответствии с четностью или нечетностью
Описанные произведения все ассоциативны, но в общем случае не коммутативны. Определение коммутаторов совпадает с их определением в случае линейных операторов, и справедливы все обычные алгебраические правила (V. 63) - (V. 66).
Обратный оператор. Если соответствие (10) между векторами
взаимно однозначно, то оно определяет также и оператор обратный оператору А
По определению, два антилинейных оператора А и В являются обратными друг к другу, если одновременно выполняются соотношения
Если каждый из операторов
является либо линейным, либо антилинейным и если каждый из этих операторов имеет обратный, то оператор, обратный их произведению, существует и определяется формулой
Действие на бра-векторы. Пусть А антилинейный оператор, а
— бра-вектор. Величина, комплексно сопряженная к скалярному произведению
будучи линейной функцией от
определяет некоторый бра-вектор (ср. § VII. 3), который мы обозначим
По определению,
Соответствие между
антилинейно
Из этого определения следует справедливость равенства
Полученное соотношение полезно сравнить с аналогичным соотношением (VII. 17) для линейных операторов. Следует учесть, однако, что в антилинейном случае скобки опустить нельзя.
Для определения трех указанных выше алгебраических операций и действия обратного оператора на бра-векторы мы поступим точно так же, как и в случае линейных операторов.
Умножение на постоянную с имеет вид (ср. ур. (12)):
Остальные определения переносятся без изменения.
Важное замечание. Соотношения (12) и (17) показывают различия в определении обычных линейных операций и операций, содержащих антилинейные операторы:
(i) рассматриваемая как оператор, действующий в кет-пространстве или бра-пространстве, постоянная с не коммутирует с антилинейными операторами, кроме случая, когда эта постоянная вещественна;
(ii) в скалярном произведении надо четко указывать, действует ли антилинейный оператор А на кет-вектор, стоящий справа от него, или на бра-вектор, стоящий слева.
В практических расчетах скобки используются в той степени, в которой они необходимы для исключения каких-либо сомнений, связанных со значением используемых символов. Рассмотрим, например, произведение
двух антилинейных операторов. Символ
является неопределенным, тогда как символ
не вызывает никаких недоразумений. Аналогично при рассмотрении произведения
линейного оператора
и антилинейного оператора Л запись
непонятна, тогда как без каких-либо недоразумений можно использовать запись
и