§ 3. Антилинейные операторы в гильбертовом пространстве

Свойства антилинейных операторов в гильбертовом пространстве аналогичны свойствам линейных операторов. Мы кратко опишем их в том же порядке, в котором в главе VII приведены свойства линейных операторов.

Определение. Действие на кет-векторы. Если каждому кет-вектору в гильбертовом пространстве сопоставлен некоторый кет-вектор и если это соответствие антилинейно, то мы говорим, что является результатом действия на некоторого антилинейного оператора А

Свойство антилинейности можно записать в виде

Антилинейный оператор определяется своим действием на каждый из векторов полного набора линейно независимых векторов в , в частности, своим действием на элементы базиса в

Алгебраические операции. Алгебраические операции определяются так же, как и в случае линейных операторов.

(i) Умножение на константу с. Если то следует отметить, что справедливо равенство

(ii) Сумма двух антилинейных операторов определяется точно так же, как и сумма линейных операторов.

(iii) Произведения: если — антилинейные операторы, то произведение определенное формулой

является линейным оператором. Если А — антилинейный оператор, а В - линейный, то их произведение антилинейно. В более общем случае, если набор содержит операторов, из которых линейных, антилинейных, то произведение линейно или антилинейно в соответствии с четностью или нечетностью

Описанные произведения все ассоциативны, но в общем случае не коммутативны. Определение коммутаторов совпадает с их определением в случае линейных операторов, и справедливы все обычные алгебраические правила (V. 63) - (V. 66).

Обратный оператор. Если соответствие (10) между векторами взаимно однозначно, то оно определяет также и оператор обратный оператору А

По определению, два антилинейных оператора А и В являются обратными друг к другу, если одновременно выполняются соотношения

Если каждый из операторов является либо линейным, либо антилинейным и если каждый из этих операторов имеет обратный, то оператор, обратный их произведению, существует и определяется формулой

Действие на бра-векторы. Пусть А антилинейный оператор, а — бра-вектор. Величина, комплексно сопряженная к скалярному произведению будучи линейной функцией от определяет некоторый бра-вектор (ср. § VII. 3), который мы обозначим По определению,

Соответствие между антилинейно

Из этого определения следует справедливость равенства

Полученное соотношение полезно сравнить с аналогичным соотношением (VII. 17) для линейных операторов. Следует учесть, однако, что в антилинейном случае скобки опустить нельзя.

Для определения трех указанных выше алгебраических операций и действия обратного оператора на бра-векторы мы поступим точно так же, как и в случае линейных операторов.

Умножение на постоянную с имеет вид (ср. ур. (12)):

Остальные определения переносятся без изменения.

Важное замечание. Соотношения (12) и (17) показывают различия в определении обычных линейных операций и операций, содержащих антилинейные операторы:

(i) рассматриваемая как оператор, действующий в кет-пространстве или бра-пространстве, постоянная с не коммутирует с антилинейными операторами, кроме случая, когда эта постоянная вещественна;

(ii) в скалярном произведении надо четко указывать, действует ли антилинейный оператор А на кет-вектор, стоящий справа от него, или на бра-вектор, стоящий слева.

В практических расчетах скобки используются в той степени, в которой они необходимы для исключения каких-либо сомнений, связанных со значением используемых символов. Рассмотрим, например, произведение двух антилинейных операторов. Символ является неопределенным, тогда как символ

не вызывает никаких недоразумений. Аналогично при рассмотрении произведения линейного оператора и антилинейного оператора Л запись непонятна, тогда как без каких-либо недоразумений можно использовать запись

и