Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Раздел II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

§ 6. Преобразования динамических переменных и динамических состояний системы

Выше мы уже определили понятия «вращение физической системы» и «перестановка частиц физической системы».

В более общем случае, действие преобразования Т на систему состоит в замене каждой из ее переменных на новую переменную, а каждого состояния — на новое состояние при сохранении физических характеристик системы.

Таким образом, преобразование устанавливает взаимнооднозначное соответствие между динамическими переменными: заданная переменная В преобразуется в новую переменную

По предположению образ В имеет тот же спектр, что и В, а собственные состояния для каждого собственного значения переменной В являются образами собственных состояний, соответствующих тому же собственному значению переменной В. Эти два условия выражают требование сохранения физических свойств при преобразовании динамических переменных. Такое условие можно сформулировать без ссылки на методы измерения, однако преобразование особенно легко описать как преобразование, применяемое к измерительной аппаратуре, предназначенной для определения В: образ этой аппаратуры есть

аппаратура, предназначенная для измерения переменной В. Таким образом, определяются смещения динамических переменных (вращения, сдвиги), отражения динамических переменных (отражение в точке, в плоскости) и т. д.

От преобразования переменных легко перейти к преобразованию состояний. Пусть — вектор, описывающий возможное динамическое состояние системы. Этот вектор можно рассматривать как общий собственный вектор полного набора коммутирующих наблюдаемых и считать, что он определен с точностью до фазы. Образ вектора при преобразовании

является общим собственным вектором преобразованных наблюдаемых. Таким образом, устанавливает взаимнооднозначное соответствие между векторами состояния, определенными с точностью до фазы.

По определению, преобразование сохраняет физические свойства динамических состояний: для системы, находящейся в состоянии вероятность того, что при измерении будет получен результат, соответствующий состоянию т. е. образу состояния равна вероятности того, что для системы, находящейся в состоянии при том же измерении будет получен результат, соответствующий состоянию Иными словами, для всех Таким образом, рассматриваемое взаимнооднозначное соответствие сохраняет модуль скалярного произведения. Согласно теореме III фазы преобразованных векторов всегда можно фиксировать так, чтобы преобразование стало унитарным или антиунитарным. Это позволяет записать

где Т — унитарный или антиунитарный оператор, соответствующий преобразованию. В обоих случаях имеем

Из закона (32) преобразования векторов легко получить закон преобразования оператора плотности

Рассмотрим еще одно преобразование наблюдаемых. Поскольку физические свойства сохраняются при рассматриваемых преобразованиях, то сохраняются и средние значения. Таким образом, для наблюдаемой В для всех имеем

или

Из теоремы I и соотношений (33) имеем

Из равенств (35) следует важное свойство неизменности алгебраических соотношений между наблюдаемыми системы в случае, когда преобразование описывается линейным оператором Т. Если же Т антилинеен, то эти соотношения заменяются на комплексно сопряженные соотношения.

Это приводит к весьма ограничительным условиям на законы преобразования наблюдаемых. Всякая наблюдаемая В является некоторой вещественной функцией фундаментальных наблюдаемых системы. Образ этой наблюдаемой есть Итак, преобразование У полностью определяется, если известны законы преобразования основных наблюдаемых, т. е. если известны функции такие, что

Последнее определяет также перестановочные соотношения для наблюдаемых Так как преобразования обязаны сохранять алгебраические соотношения, то имеется всего две возможности: либо преобразование сохраняет фундаментальные перестановочные соотношения, либо меняет их знак. В первом случае оператор Т, соответствующий преобразованию, линеен, во втором — антилинеен (см. ур. (26 а - 26 б)).

Оператор Т должен удовлетворять равенствам

содержащим все физические свойства Т. Однако этих равенств недостаточно для полного определения Т. Пусть — другой

унитарный (или антиунитарный) оператор, удовлетворяющий тем же соотношениям. Тогда имеем (опуская индекс для упрощения записи)

и, следовательно, или

или

Если предполагать неприводимость пространства состояний по отношению к наблюдаемым т. е. что в не содержится подпространств, инвариантных относительно то равенства (37) удовлетворяются тогда и только тогда, когда оператор пропорционален единичному.

Этот результат следует из леммы Шура (§ Г. 8). Ему можно дать прямое доказательство следующим образом. Пусть — общий собственный вектор полного набора коммутирующих наблюдаемых. Поскольку коммутирует с каждой из этих наблюдаемых, то является собственным вектором С: Поскольку С коммутирует с каждой функцией наблюдаемых системы, то имеем также и

Пространство, образованное векторами является подпространством в инвариантным относительно а так как по предположению, неприводимо, то этим подпространством может быть лишь само Следовательно

Если предполагать, как мы и делали до сих пор, что каждый вектор пространства состояний можно рассматривать как собственный вектор некоторого полного набора коммутирующих наблюдаемых, то свойство неприводимости выполняется автоматически (задача 1). Ясно, что приведенное выше обсуждение имеет смысл только в том случае, когда используемые наблюдаемые являются физическими наблюдаемыми. Мы всегда будем предполагать, что пространство неприводимо по отношению к физическим наблюдаемым. В этом предположении постоянная с равна единице по модулю, поскольку Т и унитарны. Итак, имеем

Вывод: с каждым преобразованием связан унитарный или антиунитарный оператор Т, определенный с точностью до фазы законами преобразования фундаментальных переменных

системы (ур. (36)). Оператор Т унитарен, если преобразование сохраняет перестановочные соотношения, и антиунитарен, если преобразование изменяет знак перестановочных соотношений.

Фаза оператора Т может быть выбрана произвольно и не влияет ни на физические свойства преобразования, ни на законы преобразования наблюдаемых и операторов плотности, ни на различные алгебраические операции над операторами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление