Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 19. Обращение времени и комплексное сопряжение

Операция обращения времени имеет много общего с комплексным сопряжением. Расширяя эту связь, будем называть комплексно сопряженными пару линейных операторов, являющихся образами друг друга при обращении времени. В частности, оператор Q называется:

(i) вещественным, если ;

(ii) чисто мнимым, если

Всякая вещественная постоянная является вещественным оператором, а постоянная — чисто мнимым оператором. Произведение на вещественную постоянную дает чисто мнимый

оператор; сумма и произведение двух вещественных операторов являются вещественными операторами.

Не следует смешивать понятие вещественности с понятием эрмитовости. В этой связи уместно сделать следующие два замечания.

(а) В отличие от того, что имеется в случае эрмитова сопряжения, комплексно сопряженные операторы не обязаны описываться в заданном представлении комплексно сопряженными матрицами.

(б) Приведенное выше определение комплексного сопряжения не является единственно возможным. Всякое антиунитарное преобразование, квадрат которого равен 3, можно рассматривать как комплексное сопряжение.

При нашем определении комплексного сопряжения все на блюдаемые, которые являются функциями координат, вещественны, все импульсы и все спины чисто мнимы, а операторы пространственных преобразований, определенные так, как это делалось в разделе II, все вещественны (задача 8).

Понятие комплексного сопряжения можно распространить на случай векторов. Определим в качестве вектора, комплексно сопряженного вектору , вектор Повторное применение К может не давать исходный вектор кроме случая, когда Из равенства не следует, что а лишь то, что коммутирует со всеми динамическими переменными, и, следовательно, является постоянной. Несложно показать (задача 9), что значение этой постоянной не зависит от выбора фазы, используемой в определении К, и что возможными значениями ее являются числа ±1. Более того, это значение можно вычислить из выражения (86) для К. Поскольку Ко коммутирует с то

или, если обозначить число частиц полуцелого спина в системе, то

Если четно), то комплексно сопряженные векторы переходят друг в друга и можно определить вещественные векторы. Вектор называют вещественным, если

По определению, вещественным представлением называют представление, все базисные векторы которого вещественны.

Для построения вещественного базиса можно поступать следующим образом. Выбирается произвольный вектор и

линейной комбинацией векторов образуют вещественный, нормированный на 1 вектор

Вещественность вектора очевидна. Постоянная с выбирается так, чтобы норма вектора равнялась 1. Легко проверить, что такой выбор всегда возможен. Затем выбирают вектор ортогональный к и таким же образом конструируется вещественный вектор нормы 1. Поскольку , по предположению, то

и, следовательно, ортогонален к Затем выбирается произвольный вектор ортогональный к и строится вектор . Эту процедуру повторяют до тех пор, пока не будет образован полный набор базисных векторов.

Вещественные представления имеют ряд интересных свойств. Оператором обычного комплексного сопряжения в этих представлениях является оператор К. Всякий вещественный оператор описывается вещественной матрицей; два комплексно сопряженных оператора реализуются комплексно сопряженными матрицами. Унитарные матрицы, связывающие два вещественных представления, вещественны.

Если нечетно), то вещественные векторы отсутствуют. Однако так как , то для любого вектора имеем

так что мы получили интересное свойство:

Два комплексно сопряженных вектора ортогональны.

Кроме того, если вектор ортогонален двум комплексно сопряженным векторам то это свойство справедливо и для комплексно сопряженного вектора Из этого легко проверяемого свойства можно получить, используя те же рассуждения, что и в случае что существует базис, целиком построенный из комплексно сопряженных векторов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление