Главная > Физика > Квантовая механика, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Раздел III. ЯВНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ВО ВСЕХ ПОРЯДКАХ

§ 15. Гамильтониан Н и его резольвента G(z)

В этом разделе мы изложим кратко подход, дающий явный вид членов любого порядка разложения по теории возмущений. В подходе, предложенном Като, используется разложение

резольвенты гамильтониана Н в ряд по степеням возмущения. В этом параграфе мы определим и опишем некоторые ее свойства.

По определению, если оператор Н — наблюдаемая, то его резольвентой называется функция

комплексной переменной

На рис. 9 изображена комплексная плоскость z и на вещественной оси отмечен спектр Н; спектр обычно состоит из дискретной части и непрерывной части, последняя располагается справа от дискретной части и тянется вплоть до бесконечности.

Рис. 9. Комплексная плоскость определение контура Г. Спектр Н выделен на вещественной оси жирными линией и точками.

Резольвента является аналитической функцией а ее особенности образуют спектр Н.

Предположим для простоты, что спектр оператора Н чисто дискретный. Собственные значения обозначим а проектор на отвечающее , подпространство —

Соотношения ортогональности и полноты имеют вид

Из определения (52) имеем

и, следовательно,

Каждому дискретному собственному значению оператора Н отвечает простой полюс вычет в котором равен проектору Другими слозами

где — замкнутый контур в комплексной плоскости, окружающий а все остальные сингулярности лежат вне его. В более общем случае, если Г — замкнутый контур, не проходящий ни через одно из собственных значений Н (рис. 9), а — сумма проекторов соответствующих собственным значениям внутри этого контура, то

Умножая уравнение (58) на Н и учитывая тождество

получаем важную формулу

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление