Главная > Физика > Лептоны и кварки
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Правила расчета вероятностей

4.1. и -матрицы. Рассмотрим набор физических состояний, которые в результате взаимодействий могут переходить друг в друга. Переход из некоторого состояния в некоторое состояние охарактеризуем величиной Совокупность всех величин образует матрицу рассеяния, или как ее иначе называют, -матрицу. Если все взаимодействия выключены, то -матрица превращается в единичную матрицу каждое состояние переходит само в себя. Поэтому физические процессы имеют место, если отлична от нуля Г-матрица, которая определяется соотношением

В дальнейшем мы будем называть амплитудой процесса величину

где и -импульсы начального и конечного состояний, а -функция в явном виде выражает закон сохранения энергии-импульса:

В дальнейшем индексы мы будем для краткости опускать.

4.2. Вероятность и сечение. Квадрат модуля определяет вероятность перехода из начального состояния в конечное

Для вычисления введем четырехмерный нормировочный объем который, разумеется, не войдет в окончательный ответ. Из определения следует, что при

Чтобы получить вероятность перехода не в одно состояние а в группу состояний, мы должны умножить на элемент фазового объема который имеет вид

где — число частиц в конечном состоянии, -импульс 1-й частицы.

Теперь следует позаботиться о правильной нормировке выражения для вероятности перехода. Мы будем нормировать волновые функции частиц таким образом, чтобы в единице объема находилось частиц, где Е — энергия частицы. Легко видеть, что для скалярных частиц такая нормировка отвечает волновой функции Действительно, плотность частиц в этом случае равна

Чтобы получить нормированную вероятность, следует разделить на величину равную

где -число частиц в начальном состоянии. Если мы рассматриваем распад, то если столкновение двух частиц, то

В результате для нормированной вероятности перехода в единицу времени получаем

где

Для распада частицы мы получаем

где Е — энергия распадающейся частицы. Столкновение двух частиц характеризуется обычно сечением, которое определяется следующим образом:

где -плотность потока частиц. В лабораторной системе координат, где частица а покоится, а частица налетает на нее со скоростью плотность потока равна

В результате для сечения получаем

Величина может быть записана в инвариантном виде

и окончательно имеем

4.3. Учет спина. До сих пор мы обсуждали случай бесспиновых частиц. Полученные выше формулы легко обобщаются на случай частиц с произвольным спином. Наиболее часто приходится вычислять для ситуаций, когда поляризационные состояния начальных частиц не фиксированы, а конечных — не измеряются. В этом случае

где -спин распадающейся частицы;

где — спины сталкивающихся частиц. Черта над означает суммирование по спиновым состояниям как начальных, так и конечных частиц. Множители учитывают, что в действительности по поляризационным состояниям начальных частиц проводится не суммирование, а усреднение.

В случае частиц со спином 1/2 суммирование по поляризационным состояниям легко осуществляется с помощью

релятивистски-инвариантной матрицы плотности:

где -импульс частицы, а масса. Если -спиновое состояние частицы — фиксировано, то

(для античастицы с 4-импульсом

где

а -единичный вектор в направлении поляризации частицы в системе координат, где она покоится. Легко проверить, что

Для массивной частицы со спином 1 релятивистски-инвариантная матрица плотности, просуммированная по спиновым состояниям, имеет вид

а для фотона

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление