Главная > Физика > Основы теории магнитного резонанса
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Влияние внешнего переменного поля

До сих пор в зависящее от времени взаимодействие не входило внешнее переменное поле. Теперь мы примем, что такое поле наложено и в гамильтониан входит соответствующий член . Учет переменного поля можно провести прямым путем, как сделал Блох. Для этого в выражении (5.160) заменим просто на . Тогда получим

При усреднении по ансамблю вклад от в первый член правой части обращается в нуль. Поэтому перейдем к рассмотрению второго члена. Вообще говоря, вклад от в первый член не равен нулю, так как одинаково для всех членов ансамбля. Если не слишком велико, то можно ожидать, что достаточно учесть член первого порядка по пренебрегая ролью под интегралом. Физически это приближение сводится к

тому, что мы полагаем

где — скорость изменения обусловленная только релакс — скорость изменения когда равно нулю. Следовательно, здесь не учитываются нелинейные эффекты взаимодействия

При каких условиях можно считать справедливым это приближение? Ответ состоит в том, что ни одно из возмущений не должно слишком сильно изменять за время (верхний предел интегрирования), так как присутствие членов, содержащих под знаком интеграла, означает, что действует на которое нельзя уже считать равным поскольку оно меняется за счет взаимодействия Так как должно быть больше это требование означает, что

Если настолько велико, что условие (5.224) не выполняется, то нужно попытаться сначала найти результат суммарного действия пользуясь теорией возмущений для Например, используя не представление взаимодействия, а переход к вращающейся системе координат, можно свести к постоянному взаимодействию, после чего уже перейти к представлению взаимодействия для эффективного поля.

Интересно отметить, что имеется большое сходство между представлением взаимодействия и обычным переходом к вращающейся системе координат, который приводит к постоянному полю Оба преобразования представляют собой переход к вращающейся системе координат. Представление взаимодействия является переходом к системе координат, вращающейся с ларморовской частотой, а обычное преобразование приводит к системе координат, вращающейся с частотой переменного поля

Для простоты предположим, что условие (5.224) выполняется. Заметим, что оно легко может быть выполнено даже в условиях насыщения, поскольку все наши уравнения применимы, когда много больше

Имеется еще одно следствие введения члена Мы отметили, что при классическом рассмотрении решетки релаксация приводит к матрице плотности при бесконечно высокой температуре, а не к равновесной матрице плотности имеющей вид

где - сумма состояний. Если мало меняется за время характеризующее «решеточное» движение, то следует ожидать, что представляет собой «постоянное» взаимодействие по отношению к решетке, и, следовательно, можно считать, что система релаксирует в каждый момент времени к мгновенной матрице плотности

Это выражение можно получить при квантовомеханическом рассмотрении решетки. Если же велико по сравнению с периодом изменения то нужно пользоваться выражением (5.225).

В условиях, когда применимы уравнения Блоха, малое время часто приводит к равенству этом случае уравнения Блоха принимают вид

где

— мгновенное значение внешнего поля. Сравнивая точное решение уравнения (5.227) с решением обычного уравнения Блоха (для которого но можно заметить, что они значительно различаются только в том случае, когда ширина лйнии сравнима с резонансной частотой.

Пользуясь уравнениями (5.223) и (5.158), можно получить полное дифференциальное уравнение для матрицы плотности, включающее внешнее переменное поле. Это уравнение имеет вид

где в зависимости от условий для используется выражение (5.225) или (5.226).

Чтобы представить себе более конкретно уравнение (5.229), рассмотрим систему, состоящую из двух уровней. Другими словами, рассмотрим частицу со спином 1/2 с уровнями энергии, расщепленными в постоянном поле, которое направлено по оси Обозначив состояния индексами 1 и 2, получим четыре элемента матрицы плотности

Как мы видели выше, имеют значение только те релаксационные члены Для которых выполняется равенство Поэтому должны учитываться только

следующие члены:

Полагая, что для отличен от нуля только матричный элемент между состояниями 1 и 2, и вводя обозначение для находим

и

Если больше а осциллирует с частотой а, то мы можем найти стационарное решение уравнений (5.231) и (5.232), полагая

где — комплексные постоянные. Подробное решение мы предлагаем в качестве задачи, а окончательный ответ совпадает с решением уравнений Блоха. Если

где V — оператор, и если — частота, определяемая соотношением то для достаточно малых V (в отсутствие насыщения) найдем

Заметим, что отлично от нуля только вблизи резонанса, а характеризует интервал частот, в котором не равно нулю. Если состояния 1 и 2 соответствуют двум зеемановским уровням ядерного спина 1/2, помещенного в постоянное магнитное поле, параллельное оси то оператор поперечной составляющей намагниченности имеет матричные элементы только между состояниями 1 и 2, а диагональные элементы равны нулю.

Следовательно,

Полагая

и вспоминая, что определяется соотношением

находим

Используя тот факт, что получаем

Это выражение согласуется с выражением для полученным в гл. 2 для уравнений Блоха.

Отметим, что оказалось возможным независимо определить вычисляя Можно также рассматривать просто как феноменологические константы, определяемые экспериментально.

Если система имеет больше двух уровней, то решение можно получить аналогичным образом, полагая все недиагональные элементы равными нулю, за исключением тех матричных элементов, для которых частота, определяемая разностью близка к частоте переменного поля.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление