Главная > Физика > Основы теории магнитного резонанса
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Б. Некоторые новые выражения для восприимчивости

Величина определяется выражением (2.144). В литературе часто встречается другое выражение для позволяющее иначе вычислять моменты линии поглощения. Это выражение можно получить из (2.144)

если воспользоваться интегральным представлением -функции

Подставляя в находим

Введя вместо новую переменную интегрирования имеющую азмерность времени

получим

Это выражение можно записать в более компактном виде, если учесть, что состояния являются собственными функциями гамильтониана Тогда

Сумма по а и очевидно, представляет собой след. Поэтому

В высокотемпературном приближении величину заменим единицей. Вводя в рассмотрение оператор определяемый выражением

мы можем записать в виде

Величина представляет собой функцию корреляции.

Поэтому из выражения следует, что величина является трансформантой Фурье этой функции.

Используя выражение для легко показать, что если отбросить дипольные члены (см. гл. 3), то получим выражение, определяющее поглощение только на ларморовской частоте, а если учесть эти члены, то придем к появлению поглощения на частотах

Выражение позволяет также в очень компактном виде записать выражение для функции описывающей форму линии поглощения:

Докажем теперь другую интересную теорему. Для этого применим преобразование Фурье к обеим частям равенства получим

Полагая здесь находим

Дифференцируя равенство раз полагая затем получаем

Это равенство позволяет найти компактное выражение, определяющее момент функции :

Для иллюстрации выведем выражение для второго момента После выполнения дифференцирования получаем

откуда находим

Этот метод позволяет очень просто получать выражения для моментов более высоких порядков. Отметим, что все нечетные моменты оказываются равными нулю в соответствии с тем, что является четной функцией .

До сих пор, за исключением предположения о применимости высокотемпературного приближения, мы не налагали никаких ограничений на свойства гамильтониана. Предположим теперь,

что гамильтониан состоит из зеемановского члена и коммутирующего с члена который часто представляет собой возмущение. В качестве например, можно рассматривать члены А и В дипольного взаимодействия. Тогда, поскольку коммутируют

где мы воспользовались равенством (2.55). Отсшда следует

Если величина инвариантна относительно поворота вокруг оси х или у на 180° (что обычно имеет место), то второй член в правой части равен нулю. В этом можно убедиться, если вычислить след в системе координат которая получается после поворота на 180° вокруг оси Поскольку, согласно нашему предположению, находим

Последний след, очевидно, совпадает с исходным и в то же время отличается от него знаком. Следовательно, он равен нулю. В соответствии с этим функцию корреляции можно записать в виде

Поскольку эта величина равна трансформанте Фурье функции отсюда следует, что переходное поведение определяется функцией умноженной на функцию, представляющую собой огибающую.

Если определить величину равенством

то огибающая будет иметь вид

Представим теперь функцию в виде суммы двух экспонент соответствующих частотам

и обозначим вклад в функцию от частоты через Тогда

после применения преобразования Фурье к обеим частям равенства получаем

или

Дифференцируя обе части этого равенства, находим

Выражение определяет момент относительно частоты . В этом выводе мы исключили экспоненциальный член, соответствующий частоте включение этого члена привело бы к появлению слишком большого вклада в величину

Точно так же, как при выводе равенства теперь получаем

и

Последняя величина равна нулю, если оператор состоит из членов А и В, приведенных в гл. 3,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление