Главная > Физика > Основы теории магнитного резонанса
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Д. Высокотемпературное приближение

В различных местах в тексте используется высокотемпературное приближение. Например, в формуле (3.16) экспоненты в выражении для заменяются единицей:

где

— статистическая сумма. Поскольку — энергия системы из частиц, ее значение меняется в пределах от до если учитывать только зеемановскую энергию. Конечно, энергия равна только в том случае, когда все спины находятся в состоянии с что чрезвычайно маловероятно в статистическом смысле. Однако можно ожидать, что наиболее вероятное значение составляет если спинов имеют случайные значения . Поскольку для типичного образца приближение вызывает недоумение.

Вместе с тем очевидно, что ни один из спинов не взаимодействует со многими другими спинами, поэтому при вычислении нет необходимости рассматривать 1023 спинов. Таким образом, утверждение о том, что нужно учитывать спинов, является просто фикцией. В конце концов, при достаточно сильном внешнем поле можно описать поглощение, рассматривая только один спин.

Следовательно, можно положить, что высокотемпературное приближение применимо, если энергия одного спина меньше Посмотрим теперь, как показать это более строго. Рассмотрим простой случай одинаковых невзаимодействующих спинов и будем считать, что те же аргументы применимы в случае взаимодействующих спинов при условии, что эффективное взаимодействие пары спинов меньше т. е. в образце нет сильных внутренних магнитных полей, таких, как в ферромагнетиках.

В случае невзаимодействующих спинов в качестве точных квантовых чисел можно выбрать индивидуальные спиновые квантовые числа Тогда для энергии получим

где ларморовская частота, Волновые функции и операторы определяются выражениями

Тогда

Поскольку содержат переменные только одного ядра, из определения мы видим, что в остаются только члены с Поэтому

откуда получаем

Если определить как то

Теперь, пользуясь тем, что вместо получаем

Здесь использовано то обстоятельство, что сумма по переменным, исключая не зависит от так как все спины одинаковы. Но

Если теперь то экспоненту с можно заменить единицей, что дает

Следовательно,

где — статистическая сумма частиц. Теперь сумма

в числителе и знаменателе сокращается, и для мы получаем выражение

Перепишем это выражение в другой форме, содержащей состояния Для этого заметим, что

поэтому

Но это как раз тот результат, который получается при замене в всех экспонент единицами.

В данном рассмотрении нигде не предполагалось, что Более того, в этом отношении не делалось никаких приближений. Единственное приближение состояло в том, что статистическую сумму для спинов мы представили в виде произведения статистической суммы для спинов и .

Аналогичное положение возникает в целом ряде других случаев, когда используется высокотемпературное приближение. Суть дела состоит в том, что, хотя формально энергия соответствует большому числу спинов, фактически всегда играет роль только малое число спинов. Поэтому ограничения на

температуру, появляющиеся в связи с тем, что , никаких затруднений не вызывают, за исключением тех случаев, когда энергия небольшого числа спинов сравнима с

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление