Главная > Физика > Основы теории магнитного резонанса
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Экспоненциальные операторы

Полезно рассмотреть, какое преобразование в квантовой механике соответствует переходу к вращающейся системе координат в классической механике. Однако для этого необходимо использовать несколько соотношений, которые мы здесь приведем для удобства читателя.

Пусть имеются две волновые функции Ф и которые удовлетворяют соответствующим граничным условиям и обладают необходимыми аналитическими свойствами в некоторой области пространства; пусть имеется также некоторый оператор который может быть, например, спиновой компонентой. Этот оператор называется эрмитовым, если

где интегрирование проводится в определенной области пространства. Чтобы доказать эрмитовость оператора, необходимо сформулировать условия, которым должны удовлетворять и Ф, а также определить область интегрирования. Например, если оператор содержит производные, то доказательство его эрмитовости может включать преобразование объемного интегрирования в интегрирование по поверхности и требование, чтобы подынтегральное выражение в интеграле по поверхности исчезло на границах заданной области.

Собственные и средние значения эрмитовых операторов представляют собой действительные величины. Поэтому любой оператор, соответствующий физически наблюдаемой величине, должен быть эрмитовым. Так, операторы являются

эрмитовыми. Учитывая эрмитовость этих операторов, нетрудно показать, пользуясь соотношением (2.44), что операторы не эрмитовы.

В теории функций экспоненциальная функция комплексной переменной z определяется следующим образом:

этот степенной ряд сходится при всех Для оператора подобным же образом определим функцию

Особый интерес представляет функция

Применяя разложение в ряд, можно показать, что если оператор эрмитов, то оператор не является эрмитовым. Действительно,

Экспоненциальная функция операторов подчиняется тем же алгебраическим правилам, что и функция обычных переменных, за исключением тех случаев, когда встречаются два некоммутирующих оператора. Так, если А и В — два оператора, то нетрудно проверить с помощью разложения в ряд, что

только в том случае, если операторы А и В коммутируют. Подобным же образом

только в том случае, если А и В коммутируют.

Если А и В не коммутируют, то может быть справедливо другое полезное соотношение. Обозначим коммутатор операторов А и В через С:

Пусть оператор С коммутирует как с А, так и с В:

Тогда

Доказательство этой теоремы дано в приложении А.

Применение экспоненциальной функции дает очень простой метод нахождения формального решения уравнения Шредингера, если гамильтониан не зависит явно от времени. Так, если

решение уравнения

то функцию можно выразить через ее значение при в виде

Соотношение (2.49) можно проверить, непосредственно подставив в уравнение (2.48). Например, если рассматривается движение спина в магнитном поле, так что то

где

Известно, что поле вызывает вращение магнитного момента с угловой скоростью определяемой соотношением Назовем такое вращение «отрицательным», поскольку составляющая угловой скорости по оси z отрицательна. Естественно предположить, что функция должна соответствовать функции отнесенной к осям, повернутым в отрицательном направлении на угол Таким образом, функция должна соответствовать функции отнесенной к осям, повернутым в положительном направлении на угол Если вычислить среднее значение матричного элемента, например то получим

где

Последнее равенство определяет оператор

Равенство (2.50а) нетрудно интерпретировать следующим образом. Первый интеграл, определяющий величину описывает прецессию вектора момента количества движения, обусловленную действием не зависящего от времени оператора на зависящую от времени функцию Ч; Последний интеграл в (2.50а) описывает действие зависящего от времени оператора на не зависящую от времени функцию Поскольку прецессия происходит в отрицательном направлении, первый интеграл содержит оператор, определенный в лабораторной системе координат, и волновую функцию, определенную в системе координат, вращающейся в отрицательном направлении. Поэтому последний интеграл должен содержать оператор в системе координат, вращающейся в положительном направлении

относительно неподвижной системы коордннат, в которой определена функция

Легко показать, что операторы связаны между собой поворотом координатных осей. Рассмотрим оператор

Чтобы выяснить его смысл, вычислим величину . Для этого можно разложить экспоненты в ряды, воспользоваться коммутационными соотношениями и попытаться свести операторную функцию к более простому виду.

Рис. 2.9. Относительное положение осей координат .

Однако той же цели можно достигнуть более простым путем, написав и решив простое дифференциальное уравненне для функции Это уравнение имеет вид

или, после учета соотношения

Аналогичным образом можно получить

или

откуда находим

Необходимо определить постоянные интегрирования (как мы увидим, эти постоянные являются операторами). Очевидно, но из уравнения (2.51) следует тогда, что Подобным же образом с помощью уравнения (2.53) получаем . Аналогично можно найти и другие соотношения:

Величины представляют собой компоненты вектора момента количества движения вдоль осей вращающихся относительно осей х, у, z (рис. 2.9). Таким образом, экспоненциальный оператор представляет собой оператор поворота.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление