Главная > Разное > Моделирование систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 6. ПЛАНИРОВАНИЕ МАШИННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С МОДЕЛЯМИ СИСТЕМ

Имитационное моделирование является по своей сути машинным экспериментом с моделью исследуемой или проектируемой системы. План имитационного эксперимента на ЭВМ представляет собой метод получения с помощью эксперимента необходимой пользователю информации. Эффективность использования экспериментальных ресурсов существенным образом зависит от выбора плана эксперимента. Основная цель экспериментальных исследований с помощью имитационных моделей состоит в наиболее глубоком изучении поведения моделируемой системы. Для этого необходимо планировать и проектировать не только саму модель, но и процесс ее использования, т. е. проведение с ней экспериментов на ЭВМ. Весь комплекс вопросов планирования экспериментов с имитационными моделями для их успешного решения рационально разбить на стратегическое и тактическое планирование.

6.1. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Машинный эксперимент с моделью системы 5 при ее исследовании и проектировании проводится с целью получения информации о характеристиках процесса функционирования рассматриваемого объекта. Эта информация может быть получена как для анализа характеристик, так и для их оптимизации при заданных ограничениях, т. е. для синтеза структуры, алгоритмов и параметров системы S. В зависимости от поставленных целей моделирования системы S на ЭВМ имеются различные подходы к организации имитационного эксперимента с машинной моделью Основная задача планирования машинных экспериментов — получение необходимой информации об исследуемой системе S при ограничениях на ресурсы (затраты машинного времени, памяти и т. п.). К числу частных задач, решаемых при планировании машинных экспериментов, относятся задачи уменьшения затрат машинного времени на моделирование, увеличения точности и достоверности результатов моделирования, проверки адекватности модели и т. д.

Машинный эксперимент. Эффективность машинных экспериментов с моделями существенно зависит от выбора плана эксперимента, так как именно план определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, приемы накопления и статистической обработки результатов моделирования системы S. Поэтому

основная задача планирования машинных экспериментов с моделью формулируется следующим образом: необходимо получить информацию об объекте моделирования, заданном в виде моделирующего алгоритма (программы), при минимальных или ограниченных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса моделирования.

Таким образом, при машинном моделировании рационально планировать и проектировать не только саму модель системы S, но и процесс ее использования, т. е. проведение с ней экспериментов с использованием инструментальной ЭВМ.

К настоящему времени в физике, биологии и т. д. сложилась теория планирования экспериментов, в которой разработаны достаточно мощные математические методы, позволяющие повысить эффективность таких экспериментов [10,18, 21, 33]. Но перенос этих результатов на область машинных экспериментов с моделями может иметь место только с учетом специфики моделирования систем на ЭВМ. Несмотря на то что цели экспериментального моделирования на ЭВМ и проведения натурных экспериментов совпадают, между этими двумя видами экспериментов существуют различия, поэтому для планирования эксперимента наиболее важное значение имеет следующее: 1) простота повторения условий эксперимента на ЭВМ с моделью системы возможность управления экспериментом с моделью Мы, включая его прерывание и возобновление; 3) легкость варьирования условий проведения эксперимента (воздействий внешней среды Е); 4) наличие корреляции между последовательностью точек в процессе моделирования; 5) трудности, связанные с определением интервала моделирования .

Преимуществом машинных экспериментов перед натурным является возможность полного воспроизведения условий эксперимента с моделью исследуемой системы S. Сравнивать две альтернативы возможно при одинаковых условиях, что достигается, например, выбором одной и той же последовательности случайных чисел для каждой из альтернатив. Существенным достоинством перед натурными является простота прерывания и возобновления машинных экспериментов, что позволяет применять последовательные и эвристические приемы планирования, которые могут оказаться нереализуемыми в экспериментах с реальными объектами. При работе с машинной моделью всегда возможно прерывание эксперимента на время, необходимое для анализа результатов и принятия решений об его дальнейшем ходе (например, о необходимости изменения значений параметров модели

Недостатком машинных экспериментов является то, что часто возникают трудности, связанные с наличием корреляции в выходных последовательностях, т. е. результаты одних наблюдений зависят от результатов одного или нескольких предыдущих, и поэтому

в них содержится меньше информации, чем в независимых наблюдениях. Так как в большинстве существующих методов планирования экспериментов предполагается независимость наблюдений, то многие из этих методов нельзя непосредственно применять для машинных экспериментов при наличии корреляции [18, 21, 29, 46, 53].

Основные понятия планирования экспериментов. Рассмотрим основные понятия теории планирования экспериментов. В связи с тем что математические методы планирования экспериментов основаны на кибернетическом представлении процесса проведения эксперимента, наиболее подходящей моделью последнего является абстрактная схема, называемая «черным ящиком». При таком кибернетическом подходе различают входные и выходные переменные: . В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фактором, либо реакцией. Пусть, например, имеют место только две переменные: х и у. Тогда если цель эксперимента — изучение влияния переменной х на переменную у, то х — фактор, а у — реакция. В экспериментах с машинными моделями системы S фактор является экзогенной или управляемой (входной) переменной, а реакция — эндогенной (выходной) переменной. Например, в агрегативной системе (А-схемё) факторами будут входные и управляющие сообщения, а реакциями — выходные.

Каждый фактор , может принимать в эксперименте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний рассматриваемой системы. Одновременно этот набор представляет собой условия проведения одного из возможных экспериментов.

Каждому фиксированному набору уровней факторов соответствует определенная точка в многомерном пространстве, называемом факторным пространством. Эксперименты не могут быть реализованы во всех точках факторного пространства, а лишь в принадлежащих допустимой области, как, например, это показано для случая двух факторов на рис. 6.1 (плоскость

Существует вполне определенная связь между уровнями факторов и реакцией (откликом) системы, которую можно представить в виде соотношения

Функцию связывающую реакцию с факторами, называют функцией реакции, а геометрический образ, соответствующий функции реакции, — поверхностью реакции. Исследователю заранее не известен вид зависимостей поэтому используют приближенные соотношения:

Зависимости находятся по данным эксперимента. Последний необходимо поставить так, чтобы при минимальных затратах ресурсов (например, минимальном числе испытаний), варьируя по специально сформулированным правилам значения входных переменных, построить математическую модель системы и оценить ее характеристики.

При планировании экспериментов необходимо определить основные свойства факторов. Факторы при проведении экспериментов могут быть управляемыми и неуправляемыми, наблюдаемыми и ненаблюдаемыми, изучаемыми и неизучаемыми, количественными и качественными, фиксированными и случайными.

Фактор называется управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются исследователем в процессе эксперимента. При машинной реализации модели исследователь принимает решения, управляя изменением в допустимых пределах различных факторов.

Фактор называется наблюдаемым, если его значения наблюдаются и регистрируются. Обычно в машинном эксперименте с моделью наблюдаемые факторы совпадают с управляемыми, так как нерационально управлять фактором, не наблюдая его. Но неуправляемый фактор также можно наблюдать. Например, на этапе проектирования конкретной системы 5 нельзя управлять заданными воздействиями внешней среды Е, но можно наблюдать их в машинном эксперименте. Наблюдаемые неуправляемые факторы получили название сопутствующих. Обычно при машинном эксперименте с моделью число сопутствующих факторов велико, поэтому рационально учитывать влияние лишь тех из них, которые наиболее существенно воздействуют на интересующую исследователя реакцию.

Фактор относится к изучаемым, если он включен в модель Мы для изучения свойств системы 5, а не для вспомогательных целей, например для увеличения точности эксперимента.

Фактор будет количественным, если его значения — числовые величины, влияющие на реакцию, а в противном случае фактор называется качественным. Например, в модели системы, формализуемой в виде схемы массового обслуживания (-схемы), количественными факторами являются интенсивности входящих потоков заявок, интенсивности потоков обслуживания, емкости накопителей, количество обслуживающих каналов и т. д., а качественными факторами — дисциплины постановки в очередь, выбора из очереди, обслуживания заявок каналами и т. д. Качественным факторам в отличие от количественных не соответствует числовая шкала. Однако и для них можно построить условную порядковую шкалу, с помощью которой производится кодирование, устанавливая соответствие между условиями качественного фактора и числами натурального ряда.

Фактор называется фиксированным, если в эксперименте исследуются все интересующие экспериментатора значения фактора, а если экспериментатор исследует только некоторую случайную выборку из совокупности интересующих значений факторов, то фактор называется случайным. На основании случайных факторов могут быть сделаны вероятностные выводы и о тех значениях факторов, которые в эксперименте не исследовались.

В машинных экспериментах с моделями не бывает неуправляемых или ненаблюдаемых факторов применительно к исследуемой системе S. В качестве воздействий внешней среды Е, т. е. неуправляемых и ненаблюдаемых факторов, в машинной имитационной модели выступают стохастические экзогенные переменные. Если имитационная модель сформулирована, то все факторы определены и нельзя во время проведения данного эксперимента (испытания) с моделью Мы вводить дополнительные факторы.

Как уже отмечалось, каждый фактор может принимать в испытании одно или несколько значений, называемых уровнями, причем фактор будет управляемым, если его уровни целенаправленно выбираются экспериментатором. Для полного определения фактора необходимо указать последовательность операций, с помощью которых устанавливаются его конкретные уровни. Такое определение фактора называется операциональным и обеспечивает однозначность понимания фактора.

Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются требование управляемости фактора и требование непосредственного воздействия на объект. Под управляемостью фактора понимается возможность установки и поддержания выбранного нужного уровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменяющимся в соответствии с заданной программой. Требование непосредственного воздействия на объект имеет большое значение в связи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функцией других факторов.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяются несколько факторов. Определим требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Основные из них — совместимость и независимость. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы, а независимость соответствует возможности установления фактора на любом уровне независимо от уровней других.

При проведении машинного эксперимента с моделью для оценки некоторых характеристик процесса функционирования исследуемой системы S экспериментатор стремится создать такие условия, которые способствуют выявлению влияния факторов, находящихся в функциональной связи с искомой характеристикой.

Для этого необходимо: отобрать факторы влияющие на искомую характеристику, и описать функциональную зависимость;

установить диапазон изменения факторов определить координаты точек факторного пространства в которых следует проводить эксперимент; оценить необходимое число реализаций и их порядок в эксперименте.

Рис. 6.1. Геометрическое представление поверхности реакции

Свойства объекта исследования, т. е. процесса машинного моделирования системы S, можно описывать с помощью различных методов (моделей планирования). Для выбора конкретной модели необходимо сформулировать такие ее особенности, как адекватность, содержательность, простота и т. д. Под содержательностью модели планирования понимается ее способность объяснять множество уже известных фактов, выявлять новые и предсказывать их дальнейшее развитие. Простота — одно из главных достоинств модели планирования, выражающееся в реализуемости эксперимента на ЭВМ, но при этом имеет место противоречие с требованиями адекватности и содержательности.

Для экстремального планирования экспериментов наибольшее применение нашли модели в виде алгебраических полиномов. Предполагаем, что изучается влияние к количественных факторов на некоторую реакцию в отведенной для экспериментирования локальной области факторного пространства ограниченной к (рис. 6.1 для случая Допустим, что функцию реакции можно с некоторой степенью точности представить в виде полинома степени от к переменных

который содержит коэффициентов.

Соотношение (6.1) может быть представлено как

где - вектор с элементами , к, входящими в исходный полином; В — вектор коэффициентов, которые соответственно имеют такой вид:

Введем фиктивную переменную а также переменные запишется как однородное линейное уравнение вида

где

Для оценки коэффициентов в (6.3) можно применить методы линейной регрессии [10, 18, 21, 22].

Пршер 6.1. Аппроксимация полиномов второго порядка функции реакции в однофакторной модели планирования может быть представлена в виде

Более сложные объекты требуют применения полиномиальных моделей планирования большего порядка. Так, модель второго порядка в -факторном эксперименте будет иметь вид

На практике часто стремятся к использованию линейной модели планирования, преобразуя исходные полиномиальные модели. Например, модель второго порядка

может быть преобразована к линейному виду путем введения фиктивных переменных Тогда в результате получается модель множественной линейной регрессии вида

Функция реакции может иметь и более сложную зависимость от факторов. В этом случае некоторые из них удается привести к линейному виду. Такими моделями являются мультипликативная, регрессионная, экспоненциальная и др. [18, 21, 46].

Если выбрана модель планирования, т. е. выбран вид функции и записано ее уравнение, то остается в отведенной для исследования области факторного пространства спланировать и провести эксперимент для оценки числовых значений констант (коэффициентов) этого уравнения.

Так как полином (6.2) или (6.3) содержит и коэффициентов, подлежащих определению, то план эксперимента должен содержать по крайней мере различных экспериментальных точек:

где — значения, которые принимает переменная в испытании,

Реализовав испытания в N точках области факторного пространства, отведенной для экспериментирования, получим вектор наблюдений, имеющий следующий вид:

— реакция, соответствующая точке плана

При незначительном влиянии неуправляемых входных переменных и параметров по сравнению с вводимыми возмущениями управляемых переменных в планировании эксперимента предполагается верной следующая модель:

где — ошибка (шум, флуктуация) испытания, которая предполагается независимой нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием и постоянной дисперсией

Выписав аналогичные соотношения для всех точек плана получим матрицу планирования

размерностью

Рассмотрим особенности планирования эксперимента для линейного приближения поверхности реакции, причем построению плана предшествует проведение ряда неформализованных действий (принятие решений), направленных на выбор локальной области факторного пространства (рис. 6.1).

Вначале следует выбрать границы и области определения факторов, задаваемые исходя из свойств исследуемого объекта, т. е. на основе анализа априорной информации о системе S и внешней среде Е. Например, такая переменная, как температура, при термобарических экспериментах принципиально не может быть ниже абсолютного нуля и выше температуры плавления материала, из которого изготовлена термобарокамера.

После определения области необходимо найти локальную подобласть для планирования эксперимента путем выбора основного (нулевого) уровня и интервалов варьирования .

В качестве исходной точки выбирают такую, которая соответствует наилучшим условиям, определенным на основе анализа априорной информации о системе S, причем эта точка не должна лежать близко к границам области определения факторов На выбор интервала варьирования накладываются естественные ограничения снизу (интервал не может быть меньше ошибки фиксирования уровня фактора, так как в противном случае верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми) и сверху (верхний и нижний уровни не должны выходить за область определения

В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраических полиномов строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов , на нескольких уровнях относительно исходной точки представляющей центр эксперимента.

Виды планов экспериментов. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если выбранная модель планирования включает в себя только линейные члены полинома и их произведения, то для оценки коэффициентов модели используется план эксперимента с варьированием всех к факторов на двух уровнях, т. е. Такие планы называются планами типа где — число всех возможных испытаний.

Начальный этап планирования эксперимента для получения коэффициентов линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях: нижнем и верхнем симметрично расположенных относительно основного уровня . Геометрическая интерпретация показана на рис. 6.2, а. Так как каждый фактор принимает лишь два значения то для стандартизации и упрощения записи условий каждого испытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабы по осям факторов выбираются так, чтобы тгжрий уровень соответствовал — 1, верхний — +1, а основной — нулю. Это легко достигается с помощью преобразования вида

где х, — кодированное значение фактора; х, — натуральное значение фактора; — нулевой уровень; — интервал варьирования фактора.

Пример 6.2. Пусть в качестве фактора выступает такая переменная, как температура причем выбраны основной уровень и интервал варьирования Тогда кодированные значения х, по уровням соответственно будут для нижнего, для верхнего, для основного.

Расположение точек для ПФЭ типа показано на рис. 6.1, а также на рис. Выписывая комбинации уровней факторов для каждой экспериментальной точки квадрата, получим план полного факторного эксперимента типа :

Рис. 6.2. Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента типа : а — без шшггабвровавия; при масштабировании осжм

Рис. 6.3. Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента типа

При этом планы можно записывать сокращенно с помощью условных буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита:

Затем для каждой строки плана выписываются латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях; испытание со всеми факторами на нижних уровнях обозначается как (1). Запись плана в буквенных обозначениях показана в последней строчке.

Пример 6.3. Геометрическая интерпретация приведена на рис. 6.3, а его план ниже:

Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэффициенты регрессии, соответствующие линейным эффектам, но и коэффициенты регрессии, соответствующие всем эффектам взаимодействия. Эффект взаимодействия двух (или более) факторов появляется при одновременном варьировании этих факторов, когда действие каждого из них на выход зависит от уровня, на которых находятся другие факторы.

Для оценки свободного члена и определения эффектов взаимодействия план эксперимента расширяют до матрицы планирования X путем добавления соответствующей «фиктивной переменной»: единичного столбца и столбцов произведений как показано, например, для ПФЭ типа 23 в табл. 6.1.

Таблица 6.1 (см. скан)

Как видно из рассмотренных планов экспериментов типов 22 и 23, количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимента, т. е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возникает проблема сокращения их количества.

Рассмотрим построение планов так называемого дробного факторного эксперимента. Пусть имеется простейший полный факторный эксперимент типа 22. Используя матрицу планирования, приведенную в табл. 6.2, можно вычислить коэффициенты и представить результаты в виде уравнения

Таблица 6.2 (см. скан)

Если в выбранных интервалах варьирования уровня процесс можно описать линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: Таким образом, остается одна степень свободы, которую можно использовать для минимизации числа испытаний. При линейном приближении и вектор-столбец (табл. 6.2) можно использовать для нового фактора Поставим в табл. 6.2 этот фактор в скобках над взаимодействием В этом случае раздельных оценок, которые имели место в ПФЭ типа 2, уже не будет и оценки смещаются следующим образом:

При постулировании линейной модели все парные взаимодействия не учитывают. Таким образом, вместо восьми испытаний в полном факторном эксперименте типа 23 необходимо провести только

четыре. Правило проведения дробного факторного эксперимента формулируется так: для сокращения числа испытаний новому фактору присваивается значение вектор-столбца матрицы, принадлежащего взаимодействию, которым можно пренебречь.

При проведении эксперимента из четырех испытаний для оценки влияния трех факторов пользуются половиной ПФЭ типа 23, так называемой «полурепликой». Если приравнять то можно получить вторую «полуреплику». Для обозначения дробных реплик, в которых линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, пользуются условным обозначением Например, «полуреплика» от 26 записывается в виде а «четверть-реплика» —

Пример 6.4. При построении «полуреплики» можно приравнять к или Две «полурешшки» показаны в табл. 6.3. Для произведения трех столбцов левой матрицы выполняется соотношение а правой матрицы — т. е. все знаки столбцов произведений одинаковы и в первом случае равны а во втором — 1.

Кроме симметричных двухуровневых планов типа 2 при планировании экспериментов применяют также многоуровневые планы, в которых факторы варьируются на уровнях и обозначаются соответственно как -планы. Многоуровневые несимметричные планы, в которых факторы варьируются на различных уровнях, строятся различными способами: комбинированием полных и дробных факторных планов типа 2, методом преобразования симметричных планов в несимметричные и т. д. Рассмотренные планы носят название планов регрессионного анализа для многофакторного эксперимента [10, 22].

Таблица 6.3 (см. скан)

Когда модель планирования анализируется методами дисперсионного анализа, применяют планы дисперсионного анализа. Если при постановке эксперимента реализуются все возможные совокупности условий, то говорят о полных классификациях дисперсионного анализа. Если проводится сокращение перебора вариантов — это неполная классификация дисперсионного анализа. Сокращение перебора может проводиться случайным образом (без ограничения на рандомизацию) или в соответствии с некоторыми правилами (с ограничениями на рандомизацию). Чаще всего в качестве таких

планов используют блочные планы и планы типа латинского квадрата [10, 18, 21].

Перейдем далее к рассмотрению вопросов, связанных непосредственно с планированием экспериментов с машинной моделью конкретной системы S.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление