Главная > Разное > Моделирование систем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ НА БАЗЕ А-СХЕМ

Особенности использования при моделировании систем обобщенного агрегативного подхода, реализуемого с помощью А-схем, и основные понятия агрегативных систем были даны в § 2.7. Остановимся на возможностях использования А-схем для формализации процессов функционирования различных систем [4, 36, 37].

Формализация на базе А-схем. Рассмотрим частный случай А-схем в виде кусочно-линейных агрегатов позволяющих описать достаточно широкий класс процессов и дающих возможность построения на их основе не только имитационных, но и аналитических моделей. В отличие от общей постановки (см. § 2.7) полагаем, что на вход агрегата А не поступают управляющие сигналы т. е. агрегат рассматривается как объект, который в каждый момент времени характеризуется внутренними состояниями лированные моменты времени на вход агрегата А могут поступать входные сигналы а с его выхода могут сниматься выходные

сигналы Класс КЛА выделяется с помощью конкретизации структуры множеств т. е. пространств состояний, входных и выходных сигналов соответственно, а также операторов переходов и выходов

Пусть имеется некоторое конечное или счетное множество которое назовем множеством основных состояний, а элементы этого множества основными состояниями. Каждому основному состоянию поставим в соответствие некоторое целое неотрицательное число называемое рангом основного состояния. Кроме того, каждому состоянию поставим в соответствие выпуклый многогранник в евклидовом пространстве размерности Будем считать, что т. е. пространство состояний можно представить состоящим из всевозможных пар вида где является вектором размерности принимающим значения из многогранника Вектор будем называть вектором дополнительных координат. Если то в данном основном состоянии дополнительные координаты не определяются.

Например, если хотим описать процесс функционирования прибора обслуживания как то основное состояние будет соответствовать числу заявок в" приборе [в накопителе и канале а вектор дополнительных координат будет содержать информацию о длительности пребывания заявки, ее приоритетности и др., т. е. ту информацию, значение которой необходимо для описания процесса

Определим действие оператора описывающего поведение при отсутствии входных сигналов Пусть в начальный момент времени агрегат А находится в состоянии где - внутренняя точка многогранника Тогда при точка перемещается внутри многогранника до тех пор, пока не достигнет его границ. Момент времени когда это произойдет, называется «опорным». Тогда при основное состояние агрегата

и данному состоянию соответствует вектор дополнительных координат размерности И, причем

Пусть грань многогранника содержащего граней, которые могут быть заданы линейными уравнениями вида

где — компоненты вектора

Тогда можно показать, что значение опорного момента определяется траекторией и может быть найдено из соотношения

Обозначим

Пусть

Тогда

В момент времени состояние изменяется скачкообразно и значение является случайным и задается распределением которое зависит лишь от состояния Широкий класс систем описывается которых зависит не от всего вектора а лишь от значения основного состояния и номера грани на которую вышел вектор дополнительных координат

В момент времени может выдаваться выходной сигнал у, что описывается оператором (см. § 2.7). При этом для

и множество имеет структуру, аналогичную т. е. выходные сигналы , где А — элемент некоторого конечного или счетного множества; — вектор, принимающий значения из евклидова пространства размерности, зависящей от А.

При функционирование вновь описывается формулами (8.4) и до очередного особого момента времени где

Для множество значений входных сигналов X структурно аналогично множествам т. е. входные сигналы где — элементы некоторого конечного или счетного множества; — действительный вектор, размерность которого зависит от

Если в рассматриваемый момент времени состояние и поступает входной сигнал то при этом состояние агрегата меняется скачкообразно в соответствии с действием оператора V (см. § 2.7). Состояние является случайным и задается распределением которое зависит от . В рассматриваемый момент времени выдается выходной сигнал, необходимость выдачи и содержание которого зависят от состояния и содержания поступившего входного сигнала х. Далее снова функционирует в соответствии с (8.4) и (8.5) до следующего момента времени выхода вектора состояний на границу допустимых значений или до момента времени наступления входного сигнала.

Простой вид формул для вычисления «опорных» моментов является следствием кусочно-линейного закона изменения состояний и обеспечивает простоту машинной реализации модели в виде отдельного или А-схемы, составленной из нескольких

Рассмотрим особенности формализации процессов функционирования системы S, представленных в виде частных типовых математических схем и Р-схем), в виде При этом надо иметь в виду, что представление процессов функционирования реальных систем в виде является неоднозначным, так как неоднозначно могут быть выбраны состояния агрегатов [4].

Пример 8.14. Рассмотрим особенности -схемы, представляющей собой обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида

где известпая функция времени

Представим это уравнение в конечно-разностном виде, выбрав какой-нибудь метод численного интегрирования уравнения (например, метод ломаных Эйлера), а шаг интегрирования А возьмем из условий близости решения исходного уравнения и его кусочно-линейной аппроксимации. В результате кривая изображающая решение этого уравнения, заменяется ломаной звенья которой в точках имеют тангенс угла наклона, равный

Представим систему S, описываемую этим дифференциальным уравнением, в виде . В качестве состояния агрегата выберем пару где — основное состояние, которое соответствует номеру интервала времени длины Л вида — вектор дополнительных координат, который сформируем следующим образом. В качестве координаты возьмем ломаную конечно-разностного уравнения, а в качестве координаты — время, оставшееся до окончания текущего интервала. Тогда состояние такого определяется как где координаты вектора изменяются линейно в пределах интервалов, причем координата убывает с единичной скоростью и обращается в нуль в момент времени В эти моменты времени состояние совершает детерминированный скачок . После скачи при координаты описываются соотношениями

где — входной сигнал, поступающий в моменты времени

Таким образом, в этом случае при построении считается, что

Выходными сигналами могут быть любые функции от состояния. Пример Рассмотрим особенности представления в виде Р-схемы, представляющей собой конечный асинхронный вероятностный автомат Мура, который не имеет жесткой тактносги, а изменяет свое состояние только при поступлении входного сигнала. Пусть , — конечные входной и выходной алфавиты автомата, — конечное множество его внутренних состояний. Полагаем для определенности, что функционирование такой Р-схемы описывается следующим образом: если в момент времени автомат находился в состоянии и поступил входной сигнал то состояние автомата выбирается случайно с вероятностью Выдаваемый при этом выходной сигнал , является однозначной функцией нового состояния, в которое перешел автомат, т. е. где Ф — некоторая детерминированная функция с множеством значений и областью определения

Для представления такой Р-схемы в виде в качестве множества входных сигналов агрегата X выберем множество а в качестве множества выходных сигналов — множество . В качестве основных состояний выберем множество и будем полагать, что для всех т. е. вектор дополнительных координат не определяется. При таком задании многогранники не определяются, т. е. отпадают вопросы, связанные с движением внутри многогранников, выходом на границу и распределением Р.

Таким образом, функционирование такого сводится к скачкам состояния при поступлении входных сигналов, причем из-за отсутствия вектора дополнительных координат такие скачки сводятся лишь к скачкам основного состояния что требует только задания распределения которое совпадает с распределением Содержание выходного сигнала, выдаваемого в момент поступления входного сигнала определяется только функцией Ф.

Если предположить, что для всех то превращается в Р-схему общего вида.

Способы построения моделирующих алгоритмов А-схем. Основные преимущества агрегатавного подхода состоят в том, что в руки разработчиков моделей и пользователей дается одна и та же формальная схема, т. е. А-схема. Это позволяет использовать результаты математических исследований процессов, описывающих функционирование агрегативных систем, при создании моделирующих алгоритмов и их программной реализации на ЭВМ. В настоящее время имеются разработки математического обеспечения, в основу которого положен агрегативный подход. Но при этом у пользователя всегда должна оставаться свобода в переходе от концептуальной к формальной модели. Таким образом, имеется возможность многовариантного представления процесса функционирования некоторой системы S в виде модели М, построенной на основе А-схем.

Пример 8.16. Рассмотрим технологию перехода от содержательного описания к А-схеме на примере Q-схемы, структура которой приведена на рис. 8.6. Такой переход возможен, так как А-схема отражает наиболее общий подход к формализации процесса функционирования системы S. Для представления этой системы в виде -схемы будем использовать пять типов агрегатов, а именно: — внешняя среда; — накопитель; А — канал; — распределитель; — сумматор. Функции агрегатов А" и А соответствуют функциям таких элементов Q-схемы, как накопитель и канал Агрегат А позволяет формализовать взаимодействие между агрегатами А-схемы и внешней средой Е. Использование вспомогательных агрегатов вызвано необходимостью синхронизации работы агрегатов в составе А-схемы в соответствии с принятыми дисциплинами постановки в очередь и обслуживания заявок. Кроме того, через агрегат возможна передача сигналов от различных выходных контактов одних агрегатов на один и тот же входной контакт другого агрегата, что запрещено делать непосредственно (см. § 2.7).

При таких предположениях структура А-схемы будет иметь вид, приведенный на рис. 8.29. Опишем работу каждого типа агрегатов, показанных на рис. 8.30, в отдельности.

Агрегат «Внешняя среда» А (рис. 8.30, а) имеет два входных контакта и один выходной: на вход поступают обслуженные заявки (сигнал на вход — заявки, получившие отказ в обслуживании (сигнал с выхода снимают заявки через промежутки времени, распределенные по заданному закону распределения входящего потока заявок. Вектор состояний агрегата

Агрегат «Канал» (рис. 8.30, б) имеет три входных контакта и один выходной: на вход подают сигнал поступления заявки на обслуживание; на вход — сигнал разрешения выдачи обслуженной заявки; на вход А? — сигнал блокировки

Рис. 8.29. Пример А-схемы общего вида

Рис. 8.30. Агрегаты (см. скан)

выдачи обслуженной каналом заявки; с выхода снимают сигнал выдачи обслуженной каналом заявки. Вектор состояний агрегата

где — время, оставшееся до окончания обслуживания заявки, которая находится в канале;

В том случае, если время обслуживания заявки в канале истекло, т. е. но ее выдача из канала запрещена, т. е. заявка остается в канале до тех пор, пока не придет сигнал

Агрегат «Накопитель» (рис. 8.30, в) имеет три входа и три выхода, входные контакты соответствуют по своим функциям контактам агрегата с выхода выдается заявка, стоящая в очереди в накопителе первой; с выхода выдаются заявки, потерянные из-за переполнения накопителя; с выхода У? поступает сигнал о том, что накопитель полностью заполнеп. Внутреннее состояние агрегата описывается вектором

где число заявок в накопителе;

Агрегат «Распределитель» (рис. 8.30, г) служит для разделения поступающего на вход потока заявок по двум направлениям — выходам что соответствует принятой дисциплине обслуживания, т. е. алгоритму взаимодействия накопителя и канала. В рассматриваемом примере поступившая в - заявка передается через выход если соответствующий ему агрегат свободен для принятия на обслуживание этой заявки; в противном случае заявка выдается через выход У. Информация о занятости соответствующих агрегатов на которые поступают заявки с выходов передается на входные контакты Если оба агрегата не могут принять заявки от агрегата то на выходной контакт выдается сигнал, запрещающий передачу заявки Как только один из агрегатов освободится (о чем выдается соответствующий сигнал на входы сигнал с контакта У? разрешает посылающему агрегату пересылку заявки через А в т. е. заявка в А не хранится. Внутреннее состояние агрегата определяется вектором

где

Агрегат «Сумматор» (рис. 8.34, д) выполняет функции, обратные агрегату т. е. избирательно суммирует поступающие заявки от двух посылающих агрегатов и передает их на вход принимающего агрегата При поступлении на вход или сигнала разрешения передачи заявки от принимающего агрегата сумматор должен последовательно опросить принимающие агрегаты. Для этого сначала передается сигнал разрешения на первый из посылающих агрегатов (контакт От этого посылающего агрегата либо поступает сигнал на входной контакт либо он отсутствует. В первом случае поступившая заявка передается дальше (контакт в противном случае посылается сигнал разрешения (контакт на второй из посылающих агрегатов. Внутреннее состояние агрегата определяется вектором

где

Таким образом, используя набор аргегатов можно описать процесс функционирования рассматриваемой системы (см. рис. 8.6). Для возможности формализации более сложных систем требуется в пределах данного класса объектов (-схем) увеличение числа состояний перечисленных агрегатов, а для других классов систем — расширение набора агрегатов.

Моделирующий алгоритм А-схемы. Укрупненная схема моделирующего алгоритма такой системы, представленной в виде

А-схемы, приведена на рис. 8.31. В основу моделирования положен принцип просмотра состояний модели в моменты скачков, т. е. «принцип («принцип особых состояний»). Обработка каждого особого состояния выполняется блоками 6 и 12. Работа такого блока иллюстрируется схемой, представленной на рис. 8.32, и сводится к выбору типа агрегата для которого реализуется дальнейшее «продвижение» при моделировании.

Схема моделирующего алгоритма, имитирующего воздействие на систему S внешней среды Е, показана на рис. 8.33, а. При этом определяется, какое событие имело место, поступление или выдача сигнала из внешней среды, т. е. заявки входного потока в А-схему (блок 6.2.1). При наступлении времени выдачи заявки она выдается в .-схему (блок 6.2.2) и генерируется интервал времени между моментом поступления новой заявки (блок 6.2.3).

Схемы моделирующих алгоритмов, имитирующих работу агрегатов приведены на рис. в соответственно. Работа

Рис. 8.31. Укрупненная схема моделирующего алгоритма А-схемы (см. скан)

Рис. 8.32. Блок-схема алгоритма блока 6 (рис. 8.31) (см. скан)

Рис. 8.33. Схемы алгоритмов блока 6.1 (а) блока 6.3 (61; блока 6.4 (в); блока 6.5 (г); блока 6.6 (д) (рис. 8.36)

этих схем полностью соответствует описанию процесса функционирования агрегатов показанных на рис. 8.30, б, в.(см. скан)

Схемы работы агрегатов выполняющих вспомогательные функции сопряжения агрегатов, показаны на рис. 8.33, г, д соответственно. Они реализуют взаимодействие основных агрегатов разрешая или запрещая передачу сигналов между ними в зависимости от ситуации с учетом правил обмена сигналами в А-схеме, описанных в § 2.7. При этом в схемах предусмотрено тестирование ошибок (блоки 6.5.8 и 6.6.6), связанных с нарушением при задании исходных данных этих правил обмена сигналами в А-схеме.

Из рассмотренного примера моделирования конкретной системы S (в данном случае заданной в виде Q-схемы) видно, что агрегативный подход является тем фундаментом, на котором базируется построение автоматизированной имитационной системы,

разработка ее внутреннего и внешнего математического и программного обеспечений. При этом стандартная форма математической модели исследуемого объекта позволяет не только унифицировать моделирующие алгоритмы, но и применять также стандартные методы обработки и анализа результатов моделирования, реализованные в виде специальных библиотек программ [7, 10, 12, 21].

Продолжение рис. 8.33 (см. скан)

Применение агрегативного подхода при моделировании систем дает ряд преимуществ по сравнению с другими, менее универсальными подходами. Так, агрегативный подход в силу модульной структуры модели и дискретного характера обмена сигналами дает возможность использовать внешнюю память ЭВМ для хранения сведений о моделируемых объектах, что в значительной степени снижает ограничения по сложности, возникающие при попытке представить процесс функционирования моделируемой системы S в целом как последовательность взаимосвязанных системных событий для записи его в виде моделирующего алгоритма или на языке имитационного моделирования. При этом объем программ имитации мало зависит от сложности моделируемого объекта, которая определяет лишь число операций, требуемых для реализации машинной модели и объем памяти, необходмой для хранения сведений об агрегатах и их

связях. Важно, что такие имитационные программы позволяют проводить их предварительную автономную отладку и являются программами многоразового использования, что повышает оперативность решения задач моделирования систем. При наличии таких отлаженных программных модулей время подготовки к моделированию практически совпадает со временем формализации моделируемой системы S в виде А-схемы и задания исходных данных.

Продолжение рис. 8.33 (см. скан)

При агрегативном подходе возникают и некоторые трудности, например, связанные с организацией диалога пользователя с имитационной системой, так как представление моделируемой системы в виде А-схемы предполагает и структуризацию в соответствующем виде входных данных. Следовательно, пользователь, как и разработчик модели должен владеть языком агрегативных систем для решения своих задач.

В перспективе агрегативный подход создает основу для автоматизации машинных экспериментов. Такая автоматизация может полностью или частично охватывать этапы формализации процесса функционирования системы S, подготовки исходных данных для моделирования, планирования и проведения машинных экспериментов, обработки и интерпретации результатов моделирования. Процесс автоматизации моделирования будет постепенным и поэтапным. Решение задачи автоматизации создает перспективы применения моделирования в качестве инструмента для повседневной работы инженера-системотехника в сфере проектирования и эксплуатации информационных систем, систем сбора и обработки информации, систем автоматизации проектирования, систем автоматизации научных исследований и комплексных испытаний и т. д.

Таким образом, использование типовых математических схем, рассмотренных в данной главе на примере Q- и А-схем, позволяет формализовать процесс функционирования конкретной системы S,

Продолжение рис. 8.33 (см. скан)

т. е. переход от концептуальной модели системы к ее машинной модели . Типовые математические схемы при моделировании конкретных систем будут рассмотрены в гл. 10.

Контрольные вопросы

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление