Главная > Обработка сигналов > Спектральный анализ и его приложения. Выпуск 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3.2. Функции скачка и импульсные функции

Для любой физической системы весовая функция должна быть равна нулю для отрицательных значений ; это означает, что система не может давать отклик на входные сигналы, которые она еще не приняла. Это условие называется условием физической реализуемости. Для физически реализуемых систем уравнения (2.3.3) и (2.3.4) можно записать в виде

или

Функции отклика на единичный импульс. Предположим, что на систему воздействует резкий импульс в момент времени

так что Тогда

и, используя (2.2.5), получаем, что последний интеграл равен Весовая функция называется функцией отклика этой системы на единичный импульс [4], так как она дает выходной сигнал в момент t для системы, подверженной действию импульса при

Отклики на единичный импульс для некоторых простых систем приведены в первом столбце табл. 2.6. На рис. 2.7 приведены отклики на единичный импульс для трех из этих систем. В первом примере (а) система представляет собой простую задержку, для которой выходной сигнал, или отклик на единичный импульс, является таким же импульсом, задержанным на время т. Во втором примере (б) система описывается одной постоянной времени и изображается дифференциальным уравнением (2.3.2); для этой системы отклик на единичный импульс является экспоненциальной кривой, изображенной на рис. 2.7, б. Третий пример (в) представляет собой систему второго порядка, изображаемую дифференциальным уравнением

Для этой системы откликом на единичный импульс является затухающая синусоида, показанная на рис. 2.7, в.

Функции отклика на единичный скачок. Линейную систему можно также охарактеризовать с помощью ее отклика на функцию-единичного скачка (2.2.7). Предположим, например, что входным сигналом является скорость притока холодной воды в теплообменник, а выходной сигнал — температура воды у выпускного отверстия. Тогда откликом на единичный скачок будут изменения температуры со временем у выпускного отверстия, после того как сделано единичное изменение входной скорости потока. Из (2.3.5) получаем, что отклик в момент времени t на единичный скачок при равен

так что отклик на единичный скачок равен интегралу от отклика на единичный импульс.

Из рис. 2.7 можно видеть, что отклик на единичный скачок для системы, являющейся чистой задержкой есть также единичный

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

скачок, начинающийся на сек позднее, как показано на рис. 2.7, а.

Рис. 2.7. (см. скан) Отклики на единичный импульс и единичный скачок для некоторых простых систем.

Для экспоненциального отклика на единичный импульс отклик на единичный скачок экспоненциально возрастает, стремясь к своему предельному значению, как показано на рис. 2.7, б. Для системы второго порядка (рис. 2.7, в) отклик на единичный скачок переходит

свое предельное значение и затем колеблется около него с уменьшающейся амплитудой.

Когда отклик на единичный скачок (2.3.9) стремится к значению

которое называется установившимся усилением системы, так как оно измеряет предельное значение усиления после того, как система возмущена единичным скачком и ей дана возможность дойти до нового установившегося значения.

Устойчивость. Система называется устойчивой [4], если ограниченные входные сигналы создают ограниченные сигналы на выходе. Ясно, что такое свойство желательно, так как в противном случае выходной сигнал неограниченно возрастал бы. Предположим, что в (2.3.5), где — некоторая конечная константа. Тогда

так что достаточным условием для того, чтобы система была устойчивой, является

где — также некоторая конечная константа. Другая форма условия устойчивости будет дана в следующем разделе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление