Главная > Обработка сигналов > Спектральный анализ и его приложения. Выпуск 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2.2. Доверительные интервалы

Доверительный интервал для среднего значения. Чтобы проиллюстрировать метод выборочных распределений и

продемонстри ровать, как строятся доверительные интервалы, предположим, что требуется оценить среднее значение для данных о токах транзисторов, приведенных на рис. 3.3, используя только девять наблюдений. Будем действовать в три этапа, как указывалось в разд. 4.2.1. На первом этапе нам нужно сделать предположение относительно формы плотности вероятности, которая должна быть связана с наблюдениями. Исходя из гистограммы рис. 3.6, разумно предположить, что наблюдения можно описать с помощью нормальной плотности вероятности. Кроме того, поскольку транзисторы выбирались в случайные моменты времени с поточной линии, разумно считать, что случайные величины независимы. Поэтому предполагалось, что выборочное распределение, связанное с наблюдениями, имеет вид (4.2.1), где оба неизвестны.

Второй этап заключается в выборе оценки для среднего значения . В качестве оценок можно было бы выбрать среднее арифметическое

и медиану, которая является «средним» наблюдением в выборке. Например, медиана для приведенных ниже данных о транзисторах равна 3,12. Можно показать [5], что для выборочной плотности вероятности (4.2.1) «наилучшей» оценкой является среднее X потому, что оно имеет наименьшую среднеквадратичную ошибку и вероятность его нахождения в заданной близости от является наибольшей.

Третий этап состоит в определении доверительного интервала для основанного на выбранной оценке X. Как показано в разд. 3.3.3, если а неизвестно, следует использовать случайную величину

выборочное распределение которой является -распределением Стьюдента с степенями свободы. Следовательно,

или

Таким образом, вероятность того, что интервал накроет истинное значение равна 1—а. Следовательно, -ный доверительный интервал для

основанный на выборочных оценках полученных по данной выборке, имеет вид

Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что значения тока в для девяти транзисторов, выбранных случайно с поточной линии, равны

так что

и

Таким образом,

и

Отсюда, используя (4.2.3) при и значение с рис. 3.11, получаем, что -ный доверительный интервал для имеет вид

Интерпретация этого -ного доверительного интервала заключается в том, что если для большого числа повторных выборок строить такие интервалы, то в 95% всех случаев они будут накрывать истинное значение

Заметим, что для этого примера можно построить бесконечное число доверительных интервалов с коэффициентом доверия 1 — а. В этом случае, выбирая интервал, симметричный относительно выборочного среднего, мы получим самый короткий интервал.

Доверительные интервалы для дисперсии. Чтобы построить доверительный интервал для дисперсии нормальной плотности вероятности, воспользуемся тем фактом, что выборочное распределение совпадает с распределением случайной величины

. Поэтому, воспользовавшись рис. 3.10, можно найти такие пределы и к, что

или

Следовательно, -ный доверительный интервал, основанный на выборочной оценке имеет вид

Для данных о токе коллектора воспользовавшись рис. 3.10, получаем если . Следовательно, 95%-ный доверительный интервал для имеет вид т. е. (0,31; 5,11). Отсюда следует, что -ный доверительный интервал для а имеет вид (0,56; 2,26).

Доверительные интервалы для отношения двух дисперсий. Если является оценкой для степенями свободы, независимая оценка степенями свободы, то, как показано в разд. 3.3.4, выборочное распределение случайной величины

является -распределением Фишера. Следовательно, как показано в разд. 3.3.4,

Подставив в (4.2.5) и перегруппировав члены, получим

Следовательно, -ный доверительный интервал, основаный на выборочных оценках полученных из двух независимых выборок, имеет вид

Например, для данных о токах транзисторов а число степеней свободы Для выборочной дисперсии другой выборки из 100 транзисторов была получена величина причем число степеней свободы . Из рис. 3.12 находим, что и поэтому, подставив эти значения и отношение в (4.2.6), получаем 90%-ный доверительный интервал для

или же (0,39; 2,38). Так как этот доверительный интервал включает отношение то возможность не должна исключаться.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление