9.2.3. Доверительные интервалы для квадрата спектра когерентности и для фазового спектра

В этом разделе мы обсудим некоторые практические применения формул, выведенных в разд. 9.2.2, и используем их при построении доверительных интервалов для спектра когерентности и фазового спектра.

Из формул (9.2.17) — (9.2.20) видно, что дисперсии этих оценок зависят от фактора сглаживания которым можно управлять с помощью стягивания окна, и от спектра когерентности двух процессов

Кроме того, мы видим, что во всех случаях, кроме (9.2.17), дисперсия оценки равна нулю, когда коэффициент когерентности равен единице, и возрастает, когда этот коэффициент стремится к нулю. В действительности дисперсии оценок взаимного амплитудного и фазового спектров стремятся к бесконечности, когда коэффициент когерентности обращается в нуль. Этого следовало ожидать, гак как малые значения когерентности соответствуют большому уровню шумов и, следовательно, неэффективной оценке. Таким образом, мы получаем важный практический вывод: выборочные свойства оценок фазового и взаимного амплитудного спектров могут зависеть в большей степени от спектра когерентности, которым мы не можем распоряжаться, чем от находящегося в нашем распоряжении фактора сглаживания

Доверительные интервалы для спектра когерентности. Из свойства ковариаций (9.2.21) следует, что оценки фазы и когерентности некоррелированы, и, следовательно, доверительные интервалы для соответствующих спектров можно строить по отдельности. Формула (9.2.18) для дисперсии величины похожа, если не учитывать эффект сглаживания, на формулу для дисперсии обычного коэффициента корреляции. Поэтому можно применить -преобразование Фишера [3]. Таким образом, с помощью (3.2.28) получаем, что оценка

имеет дисперсию

не зависящую от частоты. Это наводит на мысльо том, что лучше строить график выборочной оценки величины чем график самого коэффициента когерентности, поскольку для этой величины доверительный интервал будет постоянным.

Чтобы получить этот доверительный интервал, естественно предположить, что случайная величина имеет приближенно

нормальное распределение. В таком случае приблизительный -ный доверительный интервал для имеет вид

Предположим, например, что наблюденная величина коэффициента когерентности и что Тогда и 95%-ный доверительный интервал для имеет вид т. е. (0,511; 1,687).

Возвращаясь к исходным величинам, получаем -ный доверительный интервал для . Для практических целей удобней построить график преобразованного спектра когерентности и затем нанести на этот график постоянный доверительный интервал (9.2.23). Примеры преобразований коэффициента когерентности будут приведены в разд. 9.3.

Доверительные интервалы для фазового спектра. Приближенное распределение для оценки фазы получить труднее, чем для оценки когерентности. В [1] получено довольно точное приближение распределения этой оценки, но оно очень громоздко. Однако можно воспользоваться формулой (9.2.20), чтобы получить грубые доверительные интервалы для фазового спектра [2]. Более точные совместные интервалы для усиления и фазового сдвига будут даны в гл. 10.

В разд. 9.1.1 было показано, что если истинный коэффициент когерептности равен нулю, то оценка, соответствующая выборочному фазовому спектру, распределена равномерно на интервале Далее, формула (9.2.20) показывает, что влияние сглаживания сеодится к уменьшению дисперсии оценки фазы. Поэтому следует ожидать, что сглаживание приведет к тому, что распределение оценки фазы будет сосредоточено в более узком интервале, чем Чтобы упростить задачу, желательно найти такое преобразование фазы, чтобы преобразованная величина имела приближенно нормальное распределение. Мы предлагаем преобразование так как при этом интервал изменения преобразованной величины будет простираться от до С помощью (9.2.20) и (3.2.26) получаем

Отсюда, аппроксимируя распределение величины нормальным распределением, получим приближенные -ные доверительные интервалы для

Заметим, что истинные коэффициенты когерентности и фаза в (9.2.24), (9.2.25) неизвестны и их надо заменить на выборочные оценки. Так как из (9.2.20) следует, что дисперсия величины не зависит от то можно ожидать, что интервал (9.2.25) после обратного преобразования, переводящего его в интервал для почти не будет зависеть от

Рис. 9.3. 95%-ные доверительные интервалы для фазового спектра.

На рис. 9.3 показаны -ные доверительные пределы для различного числа степеней свободы выборочной спектральной оценки. Эти значения взяты из [4]. Например, при получаем доверительный интервал .