Главная > Физика > Теория спиноров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

17. Дополнительные мультивекторы.

Рассмотрим неизотропный вектор; будем говорить, что -вектор является дополнительным к этому -вектору, если плоскость первого является геометрическим местом прямых, перпендикулярных к -плоскости данного -вектора, если мера -вектора равна мере -вектора и если, наконец, -эдр, образованный из векторов данного -вектора и векторов -век-тора, имеет положительную ориентацию. Заметим, что -плоскость искомого -вектора вполне определена и не имеет общих направлений с -плоскостыо данного -вектора противном случае этот последний был бы изотропным).

Предположим, что Уравнения, выражающие условие, что некоторый вектор перпендикулярен к векторам имеют вид;

исключая получаем соотношение

аналогично получаем:

Таковы уравнения -плоскости искомого дополнительного -вектора. С другой стороны, если обозначить через ковариаитные составляющие этого -оектора, уравнения его -плоскости имеют вид:

принимая последовательно за комбинации и т. д.отождествляя с ранее полученными уравнениями -плоскости, мы видим, что между и существует пропорциональность, причем предполагается, что перестановка четная. Таким образом, можно положить

Записав, что -вектор и дополнительный -вектор имеют одинаковый объем, имеем . С другой стороны, -вектор, образованный из векторов -вектора и -вектора, имеет меру, равную

где сумма распространяется на все сочетания по индексов. Эта мера равна квадрату меры -вектора, поэтому откуда следуют формулы:

Примечание. При определении -вектора, дополнительного к данному -вектору, мы предполагали, что этот последний неизотропен; однако, полученные формулы имеют общее значение и позволяют распространить определение на все возможные случаи; может случиться, что -вектор равен своему дополнительному (конечно, если

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление