Главная > Физика > Теория спиноров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

23. Понятие об эвклидовом тензоре.

Можно поставить вопрос о конкретной интерпретации тех переменных, которые фигурируют в линейном представлении группы вращений. Можно говорить, что совокупность чисел образует объект, и условиться считать, что результат применения к объекту вращения сводится к совмещению его с объектом составляющие которого получаются из при помощи подстановки соответствующей . Такое условие является вполне законным, так как результат применения вращения к объекту тот же самый, что и результат применения вращения к начальному объекту Можно, между прочим, сузить рассматриваемое семейство объектов налагая на составляющие требование удовлетворять определенным алгебраическим соотношениям при условии, что:

1° составляющие объектов суженного семейства не удовлетворяют никакому линейному соотношению с постоянными коэффициентами,

2° алгебраические соотношения, определяющие суженное семейство, должны быть инвариантными при преобразованиях линейного представления.

Полученная таким образом совокупность называется эвклидовым тензором; условимся говорить, что он отнесен к точке О. Два эвклидова тензора называются эквивалентными, если они соответствуют одному и тому же линейному представлению группы вращений или двум эквивалентным представлениям.

Например, совокупность векторов (с началом в точке О), совокупность векторов длины 1, совокупность изотропных векторов образуют три эквивалентных тензора; если каждый вектор одной из этой совокупности определить составляющими в декартовом репере, то вторая совокупность характеризуется соотношением третья — соотношением где — фундаментальная форма. Важно заметить, что тензор определяется не природой тех объектов, которые его составляют, но выбором составляющих, определяющих его аналитически.

Например, пара противоположных вещественных векторов может быть представлена аналитически или при помощи одночленов или при помощи одночленов каждое из этих аналитических представлений определяет эвклидов тензор, и эти два теизора не эквивалентны.

Разумеется, все то, что было сказано относительно группы вращений, можно было бы распространить на группу вращений и отражений; нужно, однако, отметить, что тензор относительно группы вращений не является необходимо тензором относительно группы вращений и отражений, в дальнейшем мы встретим соответствующий пример Таким образом, следует различать эвклидовы тензоры в узком смысле, дающие линейные представления группы вращений, и эвклидовы тензоры в широком смысле, соответствующие линейным представлениям группы вращений и отражений. В вещественном псевдоэвклидовом пространстве можно провести более детальную классификацию в зависимости от того, рассматривается ли группа собственных вращений, или же всех вращений, или группа собственных вращений и отражений и т. д.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление