Главная > Физика > Теория спиноров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

35. Основная теорема.

Применим полученные результаты к доказательству следующей замечательной теоремы:

Теорема Бернсайда. Между коэффициентами линейных подстановок образующих неприводимое линейное представление группы не может существовать линейных соотношений с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное представление порядка и пусть и обозначают коэффициенты подстановки общего вида:

Если А — некоторая частная подстановка этого представления, то некоторая другая подстановка, причем ее коэффициенты связаны с соотношениями

Каждому элементу а группы О соответствует, таким образом, линейное преобразование (2) над величинами эти линейные преобразования дают линейное представление группы О, так как произведению элементов соответствует последовательное применение двух преобразований

Мы можем теперь применить теорему предыдущего параграфа. Если в уравнениях (2) мы фиксируем индекс то величины преобразуются так же, как преобразуются при подстановке А составляющие тензора, соответствующего данному представлению; так как этот тензор неприводим, то отсюда следует, что тензор разлагается на неприводимых тензоров, эквивалентных между собой. Следовательно, все линейные соотношения между получатся, если выписать одну или несколько систем уравнений вида

где — постоянные. Но такне соотношения невозможны, так как определитель подстановки был бы нулем. Теорема, таким образом, доказана.

В качестве примера возьмем группу вращений вещественной плоскости в применении к векторам:

так как коэффициенты этого преобразования линейно зависимы, то вектор не может быть неприводимым тензором. В самом деле,

он разлагается на два неприводимых тензора имеющих по одной составляющей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление