Главная > Физика > Теория спиноров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА III. СПИНОРЫ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА.

I. Понятие спинора

52. Определение.

Рассмотрим в трехмерном пространстве отнесенном к ортогональной системе координат, изотропный вектор Так как составляющие этого вектора удовлетворяют соотношению

то ему можно отнести два числа при помощи следующих формул:

Получаем два решения для

Невозможно указать такое правило, имеющее внутренний геометрический смысл, которое позволило бы сделать определенный выбор знака для каждого изотропного вектора, если в то же время выставить требование, чтобы выбранное решение изменялось непрерывно вместе с вектором. В самом деле, предположим, что мы нашли такое правило; возьмем определенный изотропный вектор и будем его вращать около оси на переменный угол а, причем пусть а изменяется непрерывно; так как умножится на то надо умножить по соображениям непрерывности на После полного обхода на угол величина умножается на мы приходим к начальному положению вектора, но имеет новое значение, отличное от исходного.

Систему двух величин называется спинором. Спинор, таким образом, является как бы ориентированным, или поляризованным, изотропным вектором; вращение около оси на угол изменяет поляризацию этого изотропного вектора.

53. Спинор является эвклидовым тензором.

Рассмотрим вращение (или отражение), заданное уравнениями

где девять направляющих косинусов трех взаимно перпендикулярных направлений. Рассмотрим спинор соответствующий изотропному вектору и один из спиноров соответствующих преобразованному вектору; имеем:

Правая часть является полным квадратом, так как дискриминант трехчлена равен

Величина таким образом, линейно выражается через то же надо сказать и относительно После выбора одного из двух значений величины величина определяется из соотношения

В дальнейшем мы выведем линейные преобразования, создаваемые в области спиноров вращениями и отражениями.

54. Геометрическая интерпретация отношения

Отношение при каждом вращении и отражении преобразуется дробно-линейной подстановкой. Это вытекает очень просто из того, что отношение может быть рассматриваемо как параметр образующей изотропного конуса, причем каждое вращение или отражение сохраняет ангармоническое отношение четырех образующих этого конуса. Если дробно-линейная подстановка известна, вращение определено; в самом деле, если М — произвольная точка пространства, то две изотропных прямых, перпендикулярных к преобразуются в определенные изотропные прямые, к которым перпендикулярна прямая таким образом, прямая определена, то есть определена и точка М, Эти рассуждения лежат в основе теории параметров Эйлера-Олиида-Родрига, как мы увидим это дальше.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление