Главная > Физика > Теория спиноров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

II. Матрицы, соответствующие векторам

55. Матрица, соответствующая вектору.

Вернемся к спинорам. Уравнения изотропной прямой, определяемой изотропный вектором, соответствующим спинору , могут быть написаны в следующей виде:

Рассмотрим матрицу

образованную коэффициентов при в левых частях уравнений. Рассматривая как составляющие некоторого вектора х, мы будем говорить, что матрица X соответствует этому вектору, причем мы будем говорить часто просто вектор Х, вместо вектор, которому соответствует матрица X.

Матрицы X обладают следующими важными свойства».

Теорема I. Определитель матрицы, соответствующей некоторому вектору, равен скалярному квадрату этого век тора с обратным знаком.

Теорема II. Квадрат матрицы X, соответствующей Некоторому вектору, равен единичной матрице, умноженной на скалярныйквадрат вектора.

В самом деле,

Теорема III. Скалярное произведение двух векторов равно полусумме произведений и соответствующих матриц.

В самом деле, если — некоторые параметры, то (XX

откуда вытекает справедливость теоремы.

В частности, если построить матрицы, соответствующие векторам базиса

то квадраты этих матриц равны 1, а скалярное произведение каждой пары меняет знак при перестановке сомножителей:

56. Матрицы, соответствующие бивектору и тривектору.

Рассмотрим бивектор, определяемый векторами х, у с составляющими

Этому бивектору можно отнести матрицу

Отметим, что эта матрица равна матрице, соответствующей векторному произведению двух данных векторов и умноженной на

Если векторы взаимно перпендикулярны, то матрица, соответствующая бивектору, равна

Можно аналогично отнести тривектору, определяемому век торами х, матрицу

Если три вектора взаимно перпендикулярны, то эта матрица равна Обозначая через и векторное произведение , имеем

Но произведение матриц, соответствующих двум векто» рам, лежащим на одной прямой, равно скалярному произведению этих векторов, которое в данном случае равно объему тривектора. Таким образом, матрица, соответствующая тривектору с алгебраическим объемом равна . В частности,

как это показывает непосредственное вычисление.

57. Связь с теорией кватернионов.

Не существует линейной зависимости с комплексными коэффициентами, не равными одновременно нулю, вида

Можно непосредственно проверить, что левая часть этого соотношения выражается матрицей

Отсюда вытекает, что каждая матрица порядка с комплексными коэффициентами единственным способом может быть разложена на сумму скаляра и вектора. Мы получаем систему гиперкомплексных чисел, не отличающуюся от системы кватернионов; достаточно положить

и мы получим закон композиции:

В действительной области между матрицами не существует линейной зависимости с вещественными коэффициентами, не равными одновременно нулю; эти матрицы образуют систему гиперкомплексных чисел с 8 единицами, построенную на совокупности вещественных чисел. Каждое число системы разлагается единственным способом на сумму вещественного скаляра, вещественного вектора, вещественного бивектора и вещественного тривектора.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление