Главная > Физика > Теория спиноров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

III. Линейные представления группы комплексных вращений

82. Постановка проблемы.

Остается определить все линейные непрерывные представления группы комплексных вращений.

Мы знаем (п. 74), что если обозначить через три комплексных параметра вращения и положить

то элементы матриц, определяющих представление, являются аналитическими функциями 6 вещественных параметров Переходя из вещественной области в комплексную, мы получим линейную группу, у которой коэффициенты определяются аналитическими функциями 6 комплексных параметров или 6 комплексных параметров то есть 6 комплексных параметров , где через обозначены выражения причем эти 6 параметров независимы.

Ясно, что эта группа дает представление группы получающейся при рассмотрении вращений с параметрами и вращений с параметрами . Эта группа является так называемым прямым произведением группы О вращений и группы вращений ; каждый элемент группы является совокупностью вращения опре деляемого параметрами , и вращения соответствующего параметрам , причем произведением двух элементов группы является элемент Эта группа содержит подгруппу элементов в которых является тождественным вращением, и группу О элементов в которых есть тождественное вращение; элементы групп и конечно, перестановочны между собой, и каждый элемент группы одним и только одним способом выражается как произведение элемента группы О и элемента группы называют прямым произведением и обозначают следующим образом:

Таким образом, мы пришли к следующей проблеме:

Проблема. Даны две группы и их прямое произведение зная все линейные аналитические представления каждой из групп и построить все аналитические представления группы

Напомним, что представление является аналитическим, если элементы соответствующих матриц суть аналитические функции комплексных параметров группы.

В рассматриваемом случае мы знаем все аналитические представления групп (являющиеся, между поочим, одинаковыми, но у которых параметры рассматриваются как различные).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление