Главная > Физика > Теория спиноров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

83. Линейные представления прямого произведения двух групп.

Предположим, что теорема о полной приводимости имеет место для каждой из составляющих групп , что мы имеем действительно в рассматриваемом случае. Каждое линейное представление группы дает линейное представление ее подгруппы О; по предположению это представление может быть разложено на определенное число неприводимых представлений. Рассмотрим одно из них, порядка и предположим, что существует других, эквивалентных ему; пусть

— составляющие этих неприводимых представлений. Пусть — элемент группы — элемент группы обозначим через переменные, преобразованные из посредством и перестановочны:

если мы применим к переменным сначала а затем то переменная х преобразуется сначала в а затем в если, наоборот, применим сначала то преобразуется в следовательно, элемент примененный к дает Другими словами, элементами группы О составляющие преобразуются как Следовательно, имеем (п. 33)

В результате при применении элемента имеем преобразование

матрица (а показывает, как элемент группы преобразует между собой составляющие одного из тензоров матрица как элемент группы преобразует между собой А тензоров неприводимых относительно О. Матрицы определяют неприводимое линейное представление группы О

матрицы определяют представление группы

Мы видим, таким образом, что переменных преобразуются линейно между собой при применении группы рассматриваемое линейное представление группы разложится, таким образом, на такое число неприводимых представлений, сколько в индуцированном представлении группы О имеется неприводимых неэквивалентных представлений. Кроме того, мы видим, что переменных преобразуются как произведения составляющих неприводимого представления группы на составляющие представления группы О. Так как это последнее вполне приводимо, то и представление само вполне приводимо, причем каждая часть является произведением неприводимого представления группы О на неприводимое представление группы О. Таким образом, имеет место

Теорема. Каждый тензор, неприводимый относительно прямого произведения двух групп и эквивалентен произведению тензора, неприводимого относительно на тензор, неприводимый относительно О; если теорема о полной приводимости имеет место для О и то она имеет место и для их прямого произведения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление