Главная > Физика > Теория спиноров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

II. Вращения и отражения

7. Определение.

Вращениями и отражениями (подразумевается: около начала) называются линейные преобразования координат, оставляющие инвариантной фундаментальную форму.

Если такое преобразование переводит векторы , то оно преобразует вектор в вектор Оно не меняет, конечно, длину вектора и скалярное произведение двух любых векторов. В вещественном псевдоэвклидовом пространстве оно преобразует пространственный вектор в пространственный, временной — во временной.

Определенная выше операция преобразует каждый ортогональный репер в ортогональный. Обратно, рассмотрим два

ортогональных репера пусть Отнесем пространство к первому из этих реперов и обозначим через соответствующие, координаты. Линейное преобразование

переводит вектор в вектор с составляющими то есть в вектор это преобразование не меняет, с другой стороны, фундаментальную форму Ф, так как скалярный квадрат вектора равен

8. Докажем следующую теорему:

Теорема. Определитель линейного преобразования, определяющего вращение или отражение, равен 1 или —1.

Достаточно рассмотреть комплексную область, так как каждое вращение в вещественном эвклидовом пространстве является частным случаем вращений в комплексном пространстве.

Предположим сначала, что репер ортогональный; пусть

— уравнения преобразования. Из инвариантности фундаментальной формы имеем:

Применяя правило умножения определителей к квадрату определителя преобразования, мы получим детерминант, у которого диагональные элементы равны единице, а все остальные нулю.

Если взять репер общего вида, что соответствует преобразованию координат

и если линейной подстановке (8) соответствует в координатах подстановка

то

Полагая

и обозначая через , а определители, составленные соответственно из получаем

откуда

Мы будем называть вращением преобразование, определитель которого равен отражением — преобразование с определителем, равным —1.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление